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提出一个好问题比解答还要不容易。
本贴置顶,直到获得大家满意的证明。
我认为此曲线理论上应该这样来求:假设正方形的下边缘为线段AB,则在保持车子平稳前进的情况下,A,B两点的轨迹均为摆线,故可用同一个参数t,把一个周期内的A,B坐标表示出来,进而可以求出直线AB的方程,则地面曲线为直线AB的包络线。
求包络曲线的方法:
依赖于参数t的一个曲线族,方程为F(x,y,t)=0,求出它对t的偏导F't(x,y,t)=0,两个方程联立解得即为包络线方程。
我试了试联立方程这步做不出来。

不知道我的想法是否正确,请高手指点!
跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
验证了一下,果然不出所料!

通过此例可解决任意正多边形车轮的平稳运动问题。

不足之处,地面的轨迹(方程)还是做不出来。

用摆线做正多边形的平稳滚动(正方形).gsp (8.05 KB)

跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
地面轨迹方程还没做出来,怎么就知道能“解决平稳运动问题”呢?
那我尝试下用求包络线的方法求一下!可能里面会出现反三角函数,无法解。
大家想想有没有几何方法。
跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
地面轨迹方程还没做出来,怎么就知道能“解决平稳运动问题”呢?
inRm 发表于 2010-10-5 15:34
方程很是难求,不过确是可以构造出轨迹,现在只是构造了一段,其他段由自定义变换得到。一下得到整段的地面还有待想办法。

用摆线做正多边形的平稳滚动(正方形).gsp (11.68 KB)

跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
打不开楼上这个文件哎
是不是电脑的配置不是很高?我下载下来也打不开了,风扇老转,后来试了试5.0单文件版,等了十几秒钟才打开。可能里面涉及的计算多了些吧,昨晚上我做的时候好几次都是一构造轨迹就死机,没办法只能用自定义变换的方式制作了后面的地面。你再试试吧。
发个截图先看看。
正方形车轮截图.GIF
跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
具体的操作是这样的:
求包络曲线的方法:
依赖于参数t的一个曲线族,方程为F(x,y,t)=0,求出它对t的偏导F't(x,y,t)=0,两个方程联立解得即为包络线方程。

先把正方形下边AB用参数t做出来,其中t由图中拖动的点来构造。然后求前面的AB的方程对于t的偏导数,得到两一条直线(也依赖于t),构造两直线交点,选中此交点和拖动的点,构造轨迹即可。

意外收获:通过此例可以得到求包络线的一种方法,供参考。
跑得快了撵上穷,跑得慢了穷撵上,反正这辈子是翻不了身了....
68# 津华园


从图上明显看出,正方形边长“走过的路”大于边长。
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