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线夹蛋圆锥制作理论
   。。。一个很美的原创计算公式

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上图说明了偏转角公式的普适性,而且7b-偏转角公式很容易确定切点。
转盘采用的是7b不写变换式构建坐标系的原理。

(详情可以参考这里第189楼)


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公式解读:
1.公式为我推导出来的数学结论,与平台无关,我把公式命名为:
7b-偏转角公式。
2.写成数学定理如下:
  设有一圆锥在空间坐标系o'-xyz中其底面园心为o‘,底面半径为R,
顶点H的坐标为(0,0,h).底面园与x轴的交点为A .那么这个圆锥的底面园在一透视
变换的作用下将变换成o-xy平面内的一条曲线c,这个圆锥的轮廓母线将变换
成o-xy平面内的两条直线l1,l2,l1和l2的交点的原象是圆锥的顶点,这个
交点的坐标为(0,h'),这两条直线正好是曲线c 的切线,不妨设切点是
u,v,而u,v的原象点必是变换前的圆锥的底面园上两点a,b,这两点关于正x
轴的偏转角记作t(有向角),则:
h'=看图片,t=看图片。
公式中的φ是所有平台都具有的一个量,就是空间坐标系的前后翻转角,
也就是yz平面的旋转角。
|depth|也是所有透视都应该有的量,代表视距,就是画家的眼睛到画面
的距离。所以这个公式一定可以在其它平台使用,完全可以用这个公式
直接在非7b平台计算出偏转角t来。
3.如果坐标系有缩放zoom,则把R换成R*ZOOM,  h换成h*zoom即可。
4.第2个文件中的冻结点工具的作用:所谓冻结点就是空间坐标系的xy平面
旋转时,通常点要跟着转,但有时不希望点跟着转,这就要冻结它。要冻结
一个点在7b坐标系里面是很简单的事情,一个点如果在xy平面内转动30度,
那我就对这个点施加变换转动 -30度,这样就会冻结一个点。变换与平台
无关的。旋转变换我使用的是工具完成的。

5.下面的<<透视圆锥--成图>>文件中含有4个工具,以前的于今天做了修订。
  前面的文件都具有测试性质,这个文件才是成图。


6.线夹蛋圆锥,我也没想到推出的偏转角公式,具有一种美感,这个看起来
很简单的问题,却引人入胜,而且从极限的观点看平行投影和透视被联系了
起来。刚开始我想这个问题时就把它当空间问题处理,其实这个问题把它
当平面解析几何的问题处理就足够了,本来射影平面就是二维的。到此可以说
这个问题在理论上已经完美的解决了。要是下一版本的几何画板可以进行极限
运行,或部分接受极限运算就漂亮了。最后不得不承认最简洁的做法还是是
32#用射影几何的定理做的线夹蛋圆锥,只是显示上有缺陷。还有一个输入
h'=-depht*hsinφ/(depth-h*cosφ)的小技巧,做圆台时,希望圆台和圆柱
统一处理,圆柱时h=∞,这时h'=undefined,为避免这种情况的出现,只要
进行输入变形即可:h'=depth*sinφ/(depth/h-sinφ),此时h=∞时,
h‘存在,下面的合体文件就是这么处理的。另外透视属于射影几何,共线
三点的比不再被保持,当你缩放时如果点不吻合,请使用自定义变换或使用
交比这两种方法之一完成,这是与平行投影时的最大不同。


上图为<园锥台柱合体(含平行投影)文件>截图。
  
              ----2013.6.5周三下午 修订
下面的《透视圆锥台柱合体(含平行投影)》文件,上底面的消隐发现有点小问题
,也就是端午节前下的这个文件都有小问题,已经于端午节(2013.6.12)修订好。抱歉。

透视圆锥--两线夹蛋.zip (10.55 KB)

这是演示7b-偏转角公式,已经修订过

透视圆锥成图.zip (25.15 KB)

内含四个工具,最后工具被归类到line包中。已经修订过

透视圆锥--两线夹蛋--7b做法详细教程.zip (30.25 KB)

里面共三页,分步描述了制作过程

两线夹蛋之圆锥的偏转角计算公式推导.zip (66.25 KB)

为word 文档:描述了偏转角的推导过程,配图

更新:透视圆锥台柱合体(含平行投影).zip (53.95 KB)

于端午节修订了上底面的消隐

14# 29678417
这两天研究老友这虚实圆锥,步骤大约60来步,觉得要好解读点,但当我研究到这几步时,有些迷惘:
20109
能否提示下,让我茅塞顿开,谢谢。弄懂了此造法,移植到别的立体平台,应该不成问题。
柳烟 发表于 2013-6-3 20:41
已在14#更新,在原来基础上重新制作并分页说明过程
不以物喜,不以己悲
42# 29678417

赞!
论坛QQ群:171618685 (数学实验室)  170568550 (inRm3D)
42# 29678417
太感谢了,老友的美德的光辉,照耀了论坛……感动中。
附保罗的网址:保罗网址
Perspective_Tools.gsp (82.48 KB)
上面是此人的三维透视工具。
今天静下心来,学习并研究前面的虚实圆锥,按讲解进行制作,终于学会了,谢谢。交一个作业在此。
学习.gsp (9.17 KB)
我在把虚实圆锥移植到别的立体平台时,麻烦事有点大,只好假以时日,慢慢推敲。大家接着造虚实圆柱与虚实圆台,以成全璧。
效果一:实心圆柱的虚实效果。
效果二:无盖的空心圆柱的虚实效果。效果图二见下面的用Paul Kunkel工具迅速产生的圆柱的GSP文件。文件破译起来工程量浩大,大家欣赏即可,可想其它法子造,如果真要破译,这辈子搭进去,不划算。效果一,个人觉得用数字老师的作法,应能作出。
Paul Kunkel无盖圆柱的虚实效果.gsp (67.95 KB)
111.gif
效果二,有些挑战性。
46# 柳烟

学习:我也跟着学习.gsp (15.86 KB)

48# myzam
看了老兄的文件,并看了老兄文件中的注释,将两种虚实圆锥作了讲解,确实画龙点睛,给人启迪。老兄的数学修为令人景仰。前面数字老师的几何作法与老兄的变换线性代数法,有异曲同工之妙。不好意思,大学的数学水平,咱柳烟丢得差不多了,现在要重新起摊,岁月不饶人,哎!书到用时方恨少。
49# 柳烟
  过讲了,探讨哈,你用的平台是保罗的吗?你试试把在xy平面上的压缩比以后改成-sinφ来使用,看看行不行哈。
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