叠砖做斜塔问题,张景中院士应该错了

叠砖做斜塔问题,张景中院士应该错了
张景中院士著<数学家的眼光>,153页有个叠砖问题.如图是我裁剪组织的书中张景中的主要内容[红色部分是我添加的],砖长为1,G表示重心,示图中砖数为4.
张景中的思路,我没有细看,我的与他的不同.
张景中只是使用了一个公式,得到了最终无限大的结果.这是错误的,最终结果不可能是无限大.应该分阶段使用不同的公式.另外,他的一些描述并不严谨,缺少一些推导.如下计算可反映我的思路.
设砖数为p时,顶砖[指高层砖,是第1个砖]与底砖重心最大水平距离为s,s1表示这时的第1个砖与第2个砖的重心的水平距离[s1,s2,s3,...含义类同],单砖长为1,单砖重量为1.以最下面支点为平面坐标原点,右'指s最大时,右上角象限截获的砖部分相对于最下面支点的扭矩的2倍;左'指s最大时,左上角象限截获的砖部分相对于最下面支点的扭矩的2倍.
1) p=1时,s=0
2) p=2时,s=1/2.这也是相邻两砖重心的水平距离的极限.即s1,s2,s3,...都≤1/2.当前s1=s=1/2
3) p=3时,
右'

s2)^2+(s2+s1)^2
左'

1-s2)^2+(2-s2-s1)^2
现在,右'=左'.现在的s1不要想当然认为等于"2)"中时的s1,必须要有推导证明.这是张景中不严谨处.
另外,特别注意,时刻注意验证s1+s2+s3+...+s[p]是否≤1,否则计算将会不同.这是张景中出错的主要原因.
我暂时分析到此,总之,不是张景中考虑那样容易解答.
大家最好能用GSP做出可动态验证结果的课件来.大家共同努力...

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讲师

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2^#

ataorj发表于 2014-4-20 21:57 | 只看该作者

我不再订正他错在哪里了,先老实验证他的叠砖方案如下:
1) 从上面开始向下放砖,第2层相比第1层向左缩1/2砖长
2) 第3层:1/4.
从本层向下开始,每层都必须:
视当前层为最底层,计算其余层的每块砖相对当前最下支点的左右扭矩大小并统计两边各自的和值[注:^3表示左和值,~3表示右和值]是否相等.'1,"1分别表示砖1造成的左右扭矩.单砖长为1,单砖重量为1.特注:扭距离都需要/2操作[这是重心的含义之故],为方便,这里免去这步,所以相应扭矩全部都放大至2倍了,这不影响分析结果.

第3层:
"1=(1/2+1/4)^2 [注:重量和扭距离都是(1/2+1/4),当然,扭距离原本还应该/2]
'1=(1-1/2-1/4)^2
"2=(1/4)^2
'2=(1-1/4)^2
~3="2+"1=5/8
^3='2+'1=5/8
ok!

第4层:
"1=(1/2+1/4+1/6)^2
'1=(1-1/2-1/4-1/6)^2
"2=(1/4+1/6)^2
'2=(1-1/4-1/6)^2
"3=(1/6)^2
'3=(1-1/6)^2
~4="3+"2+"1=25/24
^4='3+'2+'1=25/24
ok!

第5层:
~5=(1/2+1/4+1/6+1/8)^2+(1/4+1/6+1/8)^2+(1/6+1/8)^2+(1/8)^2=71/48
^5=(1-1/2-1/4-1/6-1/8)^2+(1-1/4-1/6-1/8)^2+(1-1/6-1/8)^2+(1-1/8)^2=71/48
ok!

第6层:
~6=(1/2+1/4+1/6+1/8+1/10)^2+(1/4+1/6+1/8+1/10)^2+(1/6+1/8+1/10)^2+(1/8+1/10)^2+(1/10)^2=463/240
^6=(1-1/2-1/4-1/6-1/8-1/10)^2+(1-1/4-1/6-1/8-1/10)^2+(1-1/6-1/8-1/10)^2+(1-1/8-1/10)^2+(1-1/10)^2=463/240
ok!

第7层:
~7=(1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12)^2+(1/4+1/6+1/8+1/10+1/12)^2+(1/6+1/8+1/10+1/12)^2+(1/8+1/10+1/12)^2+(1/10+1/12)^2+(1/12)^2=191/80
^7=(1-1/2-1/4-1/6-1/8-1/10-1/12)^2+(1-1/4-1/6-1/8-1/10-1/12)^2+(1-1/6-1/8-1/10-1/12)^2+(1-1/8-1/10-1/12)^2+(1-1/10-1/12)^2+(1-1/12)^2=191/80
ok!

看来,张景中院士没错,是我上帖下面"2-"应该为"1-".
右'

s2)^2+(s2+s1)^2
左'

1-s2)^2+(2-s2-s1)^2
第5层时已经大于1:1/2+1/4+1/6+1/8=25/24

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