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标题: (z-1)(z+1)(z-b+a)(z-b-a) 的牛迭M集征解(越玩越有趣) [打印本页]

作者: 柳烟 时间: 2010-6-7 20:07 标题: (z-1)(z+1)(z-b+a)(z-b-a) 的牛迭M集征解(越玩越有趣)

这两天，我造作P(z) = (z + 1) * (z - 1) * (z - b + a) * (z - b - a)
;; F(z) = z - P(z)/P'(z)的M集，折腾来折腾去，都以失败告终。这是对a着色，b定位在原点，阈值设置为10^(-8).软件中的效果如下：

不胜感激。

图片附件: Fractal1.jpg (2010-6-7 20:07, 24.67 KB) / 下载次数 2426
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5067&k=0b68e2829eabda6bf9eb9b1b1498ddbc&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 榕坚 时间: 2010-6-7 22:01

这个分形不好做，条件很多。没看出几何画板构造的思路来，等空下来后再试试另找它法。

作者: xiaongxp 时间: 2010-6-7 22:52

1# 柳烟
z定位何处？

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 10:28

你把源代码发上来。到现在基本上没有作不出来的复变分形了！只要知道算法。

作者: 榕坚 时间: 2010-6-8 12:54

4# 分形几何

这是源代码，代为上传：
global:
  int n_attract = 4 ; number of attractors

  int n_orbits       ; number of orbits that have to be checked
  if @giveup=="all done" || @giveup=="any done"
n_orbits = 2
  else
n_orbits = 1
  endif

  ; turning 'reorder' on will switch attractors 1 and 2 (of 0..3)
  int ixA
  int ixB
  if @reorder
ixA = 1
ixB = 2
  else
ixA = 2
ixB = 1
  endif

init:
  complex a = #pixel

  complex attract[4]  ; n_attract
  complex orbit[2] ; n_orbits

  attract[0] = -1
  attract[ixA] = 1

; pre-calculate some factors outside the loop
  complex tmps
  complex fac0
  complex fac2

  if @pchoice=="halfdist"
attract[ixB] = @b-a
attract[3] = @b+a
fac0  = @b^2 - a^2
fac2  = fac0 - 1
tmps  = @b^2 + 2*a^2 + 2
  else ; @pchoice=="square"
complex tmp = sqrt(-a)
attract[ixB] = @b + tmp
attract[3] = @b - tmp
fac0  = @b^2 + a
fac2  = fac0 - 1
tmps  = @b^2 - 2*a + 2
  endif

  if @giveup == "custom orbit start"
orbit[0] = @z_init
  else
tmps = sqrt(tmps/3) / 2
$ifdef UNUSED
if real(tmps)*imag(@b) > -imag(tmps)*real(@b)
   tmps = - tmps
endif
$endif
orbit[0] = @b/2 - tmps
orbit[1] = @b/2 + tmps

if @giveup == "other"
   orbit[0] = orbit[1]
   ; orbit[1] = @b/2 - tmps ; not used in this case
endif
  endif

  z = orbit[0]-attract[0]
  complex zprev = z  ; give it some value to avoid compiler warnings
  complex dist = 0 ; ditto

  bool continue[2]  ; n_orbits
  continue[0] = true
  continue[1] = true

  int n_live ; how many orbits can bail out until we're done?
  if @giveup=="all done"
n_live = n_orbits
  else
n_live = 1
  endif

  int step=0 ; which attractor are we checking ? (with @stripes)

loop:

  int ix = 0 ; count through the orbits
  repeat
int found=-1
if continue[ix] ;  orbit still live ?
   z = orbit[ix]
   if (@stripes)
      ; stripes: check only one attractor
   dist = z-attract[step]
   if |dist| < @delta
      found=step
      endif
   else
      ; no stripes: check all attractors
      int j=0 ; loop through the attractors
      repeat
      dist = z-attract[j]
      if |dist| < @delta
         found = j
      endif
      j=j+1
      until j>=n_attract || found>=0
   endif ; stripes
   if (found>=0)
      continue[ix] = false
      n_live = n_live - 1
   elseif (!@stripes || step==n_attract-1)
      ; here we step z (this is the core of the formula)
      zprev = z
      z = (3*z^4 - 4*@b*z^3 +  fac2*z^2  +  fac0) / ( 4*z^3 - 6*@b*z^2 + 2*fac2*z + 2*@b)
   orbit[ix] = z
   endif ; found
endif ; continue
ix = ix + 1
  until ix >= n_orbits || n_live <= 0

  if @stripes
step = step+1
if step >= n_attract
   step = 0
endif
  endif

  ; if we're bailing out, and zmode is != z, adjust the final z (for coloring algorithm)
  if @zmode != "z"
if n_live <= 0
   if @zmode=="distance"
      z = dist
   elseif @zmode=="step"
      z = z-zprev
   endif ; zmode
endif ; found
  endif ; zmode

bailout:
; -- this isn't the bailout but the continuing condition
; false = bail; true = continue
  n_live > 0

default:
  title = "Newton-Mandel(a), degree-4 polynomial" ; v1.0
  periodicity = 0 ; turn off periodicity checking by default as it interferes with 'stripes'

  heading
caption = "Fractal shape"
  endheading
  param pchoice
caption="param interpretation"
enum="halfdist" "square"
default=0
  endparam
  complex param b
caption="b"
default=0
  endparam

  heading
caption = "Bailout"
  endheading
  float param delta
caption="Bailout delta"
hint="How close can z get to a fixed point? \
   Actually, this is the square of the distance. \
   Smaller values mean more iterations."
default=1e-10
min=0
  endparam
  param giveup
caption = "Stop when"
enum = "all done" "any done" "one" "other" "custom orbit start"
default = 0
  endparam
  complex param z_init
caption = "orbit start"
enabled = @giveup == "custom orbit start"
default = 0
  endparam

  heading
caption = "Coloring"
  endheading
  bool param stripes
caption="Staggered iteration"
hint="Checking this box means you can use one of the striped coloring methods. Use 4 stripes."
default=false
  endparam
  bool param reorder
; enabled = @stripes
default = false
caption = "Reorder attractors"
hint = "Exchange the attractors 1 and 2 (of 0..3). \
   Matters if you use staggered iteration, or in the rare case when two attractors coincide."
  endparam
  param zmode
caption = "final z"
enum = "z" "distance" "step"
default = 1 ; "distance"
  endparam

switch:
  type = "N_Poly4_J"
  pchoice = pchoice
  a = #pixel
  b = b
  delta = delta
  reorder = reorder
  stripes = stripes
  zmode = zmode
}

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 13:12

再增添榕坚老师转来代码之前一段外文:
N_Poly4_Ma {
; newton's method applied to P(z) = (z + 1) * (z - 1) * (z - b + a) * (z - b - a)
; Parameter plane (M-set) for all 'a' and a specific 'b'
; F(z) = z - P(z)/P'(z)
; F(z) = (3*z^4 - 4*b*z^3 + (b^2-a^2-1)*z^2 + (b^2-a^2)) / ( 4*z^3 - 6*b*z^2 + 2*(b^2-a^2-1)*z + 2*b)
; Attractors: the 4 zeros of P(z): 1,-1, b+a, b-a
; Critical points: the 4 zeros, as well as
; b/2 +/- sqrt(3)*sqrt(b^2 + 2*a^2 + 2)/6
; For b=0, this reverts to the 'Newt_fang_xxx' formulas from pwc_convert.ufm

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 13:14

我造M没有成功,但按Z着色,按软体中的a\b定位,造的J集与软体中一致,说明我的计算没错.

1068（z+1）（z-1）（z-b+a）(z-b-a)牛顿J集.gsp (25.71 KB)

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5079&k=d82cf20b7acd9f48760f3eb60fb7cc0c&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 13:42

运行软件，看一下这个属性面板内的值是多少？这个分形基本上作出来了，只是与贴图还差一点。原因是定位值你没有给出来！能把这些formula发给我吗？我的邮箱:422161240@qq.com

图片附件: Snap4.jpg (2010-6-8 13:42, 10.29 KB) / 下载次数 2380
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作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 14:41

运行软件，看一下这个属性面板内的值是多少？这个分形基本上作出来了，只是与贴图还差一点。原因是定位值你没有给出来！能把这些formula发给我吗？我的邮箱:422161240@qq.com
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分形几何发表于 2010-6-8 13:42

Z值的定位一直没读懂代码，面板中看出一些点的定位。胡老师说的formula是指软件附带的范例吗？

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 14:50

z值定位不在代码里，而在属性面板中：starting(Re)与starting(im)就是迭代初始值的横纵坐标。能把那些范例发到我的邮箱里吗？

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 15:03

z值定位不在代码里，而在属性面板中：starting(Re)与starting(im)就是迭代初始值的横纵坐标。能把那些范例发到我的邮箱里吗？
分形几何发表于 2010-6-8 14:50

已发.第一次搞忘了添附件,结果又重新发了一次.请查收.

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 15:57

收到。谢谢。可我找不到你所说的那个分形。

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 16:52

12# 分形几何

直接在解压的文件夹中找,我试了,不好找.将文件夹中的文件放在同名的Public中,起动软件后,很快找到.

图片附件: 未命名.JPG (2010-6-8 18:16, 72 KB) / 下载次数 1514
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5080&k=afa7598713816d998f6d8793d89ed122&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 17:40

我打开后为什么成了5.03版？而不是3.05？我以前装过5.03版，是不是必须重装才能装上3.05？并且在我的机子上解压后，看到的只有两个文件，一个是exe文件，另一个是网页文件？在你的机子上是这样的吗？

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 17:44

我先把文件发上去，你只用按UF上的数据定位后扫描看看一样不一样。

附件: 2.gsp (2010-6-8 17:44, 111.97 KB) / 下载次数 2003
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5083&k=98c690a9d8a253b9b24266ea4a096a33&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 17:58

你发给我的装上后打开根本就找不到你所说的。你看界面如图：

谢谢。我刚才在网上下载了一个。装上了！

图片附件: Snap6.jpg (2010-6-8 18:17, 67.64 KB) / 下载次数 1459
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5084&k=9118f6fc473959d38050a15f00c1f190&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 18:33

怪事。我再重新发Public文件夹中的全部文件到你的邮箱，看看能不能解决问题。3.05板的这些文件，高板本的5.0板能识别。文件减压后，有七十几M。

作者: 榕坚 时间: 2010-6-8 21:54

8# 分形几何

这个是Z0在（0.5，0），但是软件中的初始位置是(0,0)。很奇怪，此时分母为零无意义。因此肯定有经过特殊处理。

作者: 柳烟 时间: 2010-6-8 22:44

8# 分形几何

这个是Z0在（0.5，0），但是软件中的初始位置是(0,0)。很奇怪，此时分母为零无意义。因此肯定有经过特殊处理。
榕坚发表于 2010-6-8 21:54

有道理，Z定位在原点，则导数为0。如照软件中的定位原点，则扫出一片空白，什么也没有。按理，定位在与原点逼近的一点，应扫出与帖图类似的图形，何以与其相差过于悬殊呢？再则，连小M集也没发现几个呢？

作者: 分形几何 时间: 2010-6-8 23:02

再扫一图：

图片附件: 未命名.jpg (2010-6-8 23:02, 28.86 KB) / 下载次数 1314
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5090&k=551bfd38608bad71898f13c8b967d473&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-7-4 09:43

此沉埋许久的问题，于昨晚深夜，经历失败探索，再失败，再求索，豁然开朗，已经破解。终于误出了一个道理，最高深的道理往往是最平常的。

Newton-Mandel(a)degree-4 polynomial.gsp (32.31 KB)

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-4 10:10

太美了，这难道是长江七号吗？

作者: 柳烟 时间: 2010-7-5 17:02

既然姐姐的爱情防线已突破，妹妹的爱情防线就不堪一击了。
UF效果

GSP效果

Newton-Mandel(a)degree-4 polynomial.gsp (2).gsp (88.56 KB)

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作者: xiaongxp 时间: 2010-7-9 17:40

这个Newton Fractal的结构与色彩如此和谐绚丽、沁人心脾，很想得到画板文件。可是花了整天我怎么也尝试不出来，大家也试试？方程应该是z^4=e^(iπ/4).
$Newton fractal.jpg$

图片附件: Newton fractal.jpg (2010-7-9 20:41, 25.94 KB) / 下载次数 1528
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作者: 柳烟 时间: 2010-7-9 17:50

我今天也不宜栽种,前几天整得来的分形,今天重新弄,弄一遍二遍,乃至三遍,遍遍不同,自已都觉得滑稽.前几天,整一遍成功一遍,烦.向老师的此图片美不胜收,我试试看.
我将这方程代入我那个广义牛集,结果得出普通的牛集,向老师帖图的牛集,肯定有不寻常的算法在.

作者: math 时间: 2010-7-10 21:37

24# xiaongxp

好象函数式有错，从网上的范例中看应该是：f(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2，C=e^(iπ/4)。但是牛顿的迭代我还是模糊的，运算式太复杂了。看了一下说明好象还与它的根有关。xiaongxp老师不妨也把牛顿的分形做一下介绍，作牛顿分形有什么技巧。谢谢。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-10 21:51

24# xiaongxp

好象函数式有错，从网上的范例中看应该是：f(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2，C=e^(iπ/4)。但是牛顿的迭代我还是模糊的，运算式太复杂了。看了一下说明好象还与它的根有关。xiaongxp老师不妨 ...
math 发表于 2010-7-10 21:37

问问math板友,这范例在那个网站?我空了整一个牛顿迭代的视频,看能不能对你有所帮助.我先试试你说的这个函数的牛顿迭代看看.

作者: math 时间: 2010-7-10 22:43

27# 柳烟

http://www.fractalsciencekit.com/tutorial/examples/newton.htm，有个软件在这个网站，下载后有范例，里面有关于这个分形的信息。可是很多看不懂。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-10 23:03

不行,按楼上的迭代函数造牛集,得如下图片:

此图按向老师说的,将采样数设为800,散点,慢扫出的,图片清晰,原来我扫的图片中有横条,现在可克服了,谢.

图片附件: 未命名3.JPG (2010-7-10 23:25, 33.71 KB) / 下载次数 1447
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5996&k=bd82cf9400076e1867c08ce4592b2ba5&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-10 23:04

27# 柳烟

http://www.fractalsciencekit.com/tutorial/examples/newton.htm，有个软件在这个网站，下载后有范例，里面有关于这个分形的信息。可是很多看不懂。
math 发表于 2010-7-10 22:43

请问软件中如何查范例？

作者: 柳烟 时间: 2010-7-10 23:22

30# xiaongxp
向老师说的软件是指我这里摘选的UF中的范例吗?这UF中的范例是这样查的.
第一步:

第二步:

第二步中的图片里,Compatibility文件夹中,系统自带有范例,另外,Public文件夹中,有时安上软件中有许多例,我最近几次安的软件中,这个文件夹中没有几个,可到这软件的外国网站去下,然后放到这文件夹下.右框中,选择文件后,双击,即可看到分形图.选择文件后,可在右下角看到的东西,是此分形的代码.

图片附件: 1.JPG (2010-7-10 23:22, 32.62 KB) / 下载次数 1756
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5994&k=8b6a32582df49070a6187a327cdf5a2e&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: 2.JPG (2010-7-10 23:22, 83.68 KB) / 下载次数 1943
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5995&k=10d6bf3d5623376516db280c465716f1&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: math 时间: 2010-7-10 23:25

30# xiaongxp

comment:

  Attributed to Paul Carlson.

  Mandelbrot fractal based on Newton's method for
  finding roots applied to:

c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2 = 0

  Set the Classic Controller to 'Gradient Map - Newton' and
  use the Julia preview window to explore the Julia fractals.

  Notes:

   f(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2
f'(z) = 4*c^2*z^3 - 2*(c^4+1)*z
f''(z) = 12*c^2*z^2 - 2*(c^4+1)

  The Newton fractal is given by:

z = z - f(z)/f'(z)

  and the critical point is found by
  setting f''(z) = 0 and solving for z:

12*c^2*z^2 - 2*(c^4+1) = 0
12*c^2*z^2 = 2*(c^4+1)
z^2 = (c^4+1)/(6*c^2)
z = Sqrt((c^4+1)/(6*c^2))

  For general information on Newton fractals see:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal
http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html

global:

  FSK.OverrideValue("AngleReferencePoint", AngleReferencePoint)
  FSK.OverrideValue("RootDetection", True)
  FSK.OverrideValue("MaxPower", Solver.MaxPower(SolverMethod))

  Complex coef[] = c^2, 0, -(c^4+1), 0, c^2

initialize:

  if (~IsJulia) {
c2 = c^2
c4 = c^4
coef[] = c2, 0, -(c4+1), 0, c2
z = Sqrt((c4+1)/(6*c2)) ' critical point
  }

iterate:

  z = Solver.ApplyToPolynomial(SolverMethod, SolverMethodArg, coef[], z)

properties:

  #include SolverMethodOptions

  #include AngleReferencePoints

  option AngleReferencePoint {
type = AngleReferencePoints
caption = "Angle Reference"
default = AngleReferencePoints.PreviousOrbitPoint
  }

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-10 23:28

24# xiaongxp

好象函数式有错，从网上的范例中看应该是：f(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2，C=e^(iπ/4)。但是牛顿的迭代我还是模糊的，运算式太复杂了。看了一下说明好象还与它的根有关。xiaongxp老师不妨 ...
math 发表于 2010-7-10 21:37

math老师提供的公式等价于f(z) = i*(z^4 +1)，只是将f(z) =z^4 +1的图作了90°旋转，这样的Newton分形应该没有那个圆环。原图的结构更像21楼的UF分形图。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-10 23:29

28# math
这个网站里好象有个分形软件.只要有代码,就好办,总有一个时候造出里面的分形,只是时间早晚的问题.

作者: math 时间: 2010-7-11 00:02

这是它的M集：

图片附件: m.JPG (2010-7-11 00:02, 21.25 KB) / 下载次数 1490
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5997&k=d025c168da9f5755f6a39c255ecda0d4&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-11 00:04

31# 柳烟

32# math

谢谢二位。这段文字看不懂，再试试吧。
math老师，关于f(z)的Newton分形，就是z←z-f(z)/f'(z)的Julia分形。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-11 07:46

查找了牛顿分形的不少推广公式，始终不能做出其中的圆环状，包括柳老师一楼的问题，按柳老师21楼的做法，可能解决此问题，下面是我用公式z:z-f'(z)f(z)/[f'(z)^2-f(z)f''(z)]做的向老师的问题，和上页柳老师的也有区别，不知柳老师21楼的思路是怎样的，按那个思路也不能得到软件图吗？

图片附件: 牛顿迭代实验2.jpg (2010-7-11 07:46, 42.68 KB) / 下载次数 1489
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=5998&k=eacb58018d1f7e9722dfd1ddd069a144&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: 牛顿迭代实验3.jpg (2010-7-11 08:33, 40.3 KB) / 下载次数 1447
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6000&k=9ae637f930be5529d5961ca8d5ba32a4&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-11 10:49

37# xyj200909
xyj200909老师的图细部像原图，但整体差异大。你的结构蛮好的，能分享下源文件吗？

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-11 10:56

按math老师提供的公式作了好多次，没成功。不知是因运算次数多而作做错还是c的定位有问题，总之耗了我通宵直到现在，我快没信心了。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 12:36

按math老师提供的公式作了好多次，没成功。不知是因运算次数多而作做错还是c的定位有问题，总之耗了我通宵直到现在，我快没信心了。
xiaongxp 发表于 2010-7-11 10:56

坚定信心,向老师.成功的一瞬间,会让人获得支撑.

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 12:43

查找了牛顿分形的不少推广公式，始终不能做出其中的圆环状，包括柳老师一楼的问题，按柳老师21楼的做法，可能解决此问题，下面是我用公式z:z-f'(z)f(z)/[f'(z)^2-f(z)f''(z)]做的向老师的问题，和上页柳老师的也有区 ...
xyj200909 发表于 2010-7-11 07:46

请朋友将源文件帖于此,方便大家学习.21楼费了我好大的劲,翻汤覆水好几次,终于搞出.光看我的原文件,不容易明白.是这样干的,先按普通牛集弄好,关健是最后一步,对z的定位.注意:对c进行着色前,先将z定位在b/2+sqrt(3)*sqrt(a^2+2b^2+2)/6或b/2-sqrt(3)*sqrt(a^2+2b^2+2)/6处都行(采取合并的方法),如果先对c着色,再定位,则弄出的图怪怪的,与帖图相去甚远,但仍是好分形.
朋友可把你说的推广的牛迭公式,公布在此,我也弄弄,开拓思维,提高技艺.一个人的头脑太有限了,分享成果,不失为捷径.问好.

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-11 15:02

37# xyj200909

按柳老师的方法，你将点z合并到点((c^4+1)/(6*c^2))^.5，再对c作色就可以产生一个环，看看图像是否接近所求。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-11 17:48

41# 柳烟

附件: 牛迭试验.gsp (2010-7-11 17:48, 16.24 KB) / 下载次数 3071
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6002&k=54743728ae4942e68e41271cef13020c&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 牛顿（Newton）求根公式的改进.rar (2010-7-11 17:48, 74.99 KB) / 下载次数 2770
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6003&k=372ded886463a6f02ec88dca03320f0a&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xyj200909 时间: 2010-7-11 18:19

37# xyj200909

按柳老师的方法，你将点z合并到点((c^4+1)/(6*c^2))^.5，再对c作色就可以产生一个环，看看图像是否接近所求。
xiaongxp 发表于 2010-7-11 15:02

f(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2，C=e^(iπ/4),如果对C着色，怎么体现C=e^(iπ/4)这个定值呢

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 18:55

按向老师42楼的方法,产生的图片很美.

(z) = c^2z^4 - (c^4+1)z^2 + c^2C=e^(iπ4)一.gsp (37.48 KB)

图片附件: 未命名1.JPG (2010-7-11 18:55, 24.27 KB) / 下载次数 2563
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6006&k=b8d0627acf3a0c118b51c54b7b387531&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: (z) = c^2z^4 - (c^4+1)z^2 + c^2C=e^(iπ4)一.gsp (2010-7-11 18:55, 37.48 KB) / 下载次数 3869
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6007&k=8c6e3b530644b65c1f464f6c1a374a87&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 19:09

昨晚,学得头昏脑胀,在网上找一个简单的来弄,sin(z/c)的M集,图片也不错.
未命名.JPG

未命名1.gsp (14.98 KB)

附件: 未命名1.gsp (2010-7-11 19:09, 14.98 KB) / 下载次数 3654
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6009&k=fb99712740ef435d0a1f070e868a9a97&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: 未命名.JPG (2010-7-11 19:58, 46.5 KB) / 下载次数 2617
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6011&k=9a523aa76f5def2497d5ae81eb781021&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 19:41

44# xyj200909
如果对C着色，造的是M集，c是动点，所以给的c的定位点，舍弃。如果是造J集，则z动点。另谢过板友提供的好资料。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 20:21

同样对函数(z) = c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2,受向老师的启发，多试了几个Z的合并点，若将Z合并到sqrt((c^2+1)/(3c)),先合并，再对C着色,则得如下效果，仍有圆环，图片依然美。

未命名2.gsp (37.14 KB)
局部放大后，里边的小M集。

图片附件: 未命名.JPG (2010-7-11 20:21, 33.45 KB) / 下载次数 2410
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6012&k=20b2656d5affc4f59ebc44c329aadabb&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 未命名2.gsp (2010-7-11 20:21, 37.14 KB) / 下载次数 3754
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6013&k=482ca590871b1ca21fd8859e0dde47da&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: 未命名.JPG (2010-7-11 20:45, 20.6 KB) / 下载次数 2420
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6018&k=0741641d657f3ac9f78547673f85548f&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: changxde 时间: 2010-7-11 20:28

牛顿J集

我试了那个软件也没找到那个图，要能从软件上找到就好了。

图片附件: NJ.JPG (2010-7-11 20:28, 22.95 KB) / 下载次数 2294
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6014&k=a05955d7689bc3822935b3a21dc50205&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: tem.gsp (2010-7-11 20:28, 31.21 KB) / 下载次数 2758
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6015&k=6896f609ab0559252daa2367d409c653&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: changxde 时间: 2010-7-11 20:42

图片附件: NM.jpg (2010-7-11 20:51, 31.46 KB) / 下载次数 2288
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6016&k=0e01c6b43582eef8a374f48f7e0afb02&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: NJ.jpg (2010-7-11 20:51, 37.68 KB) / 下载次数 2272
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6017&k=8af21fb4ed0d2ba9331aae2a73455a7f&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: math 时间: 2010-7-11 21:35

牛顿J集
6014
我试了那个软件也没找到那个图，要能从软件上找到就好了。
changxde 发表于 2010-7-11 20:28

你把这个文件在软件中打开：

附件: Experiments.rar (2010-7-11 21:35, 3.16 KB) / 下载次数 2539
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6019&k=252167f29af2cd8e38eb94e7e11272cd&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-11 21:41

48# 柳烟
好！！！
柳老师真有毅力，令人佩服。
原图有四岔，合并点的分子分母的c的方次应分别为4、2，可能改的应是系数或在分子添项c^2。请说说sqrt((c^2+1)/(3c))的来历。

作者: 柳烟 时间: 2010-7-11 22:28

52# xiaongxp
我是抱着试一试,随便弄个c的函数,结果得到那图的.向老师帖的美图中的十字与前面板友的二阶导数的牛集的十字很相象,看了美图程序中的二阶导数,不明白这二阶导数究竟与这J集二者的联系,如何用?这是解决问题的关健.

作者: math 时间: 2010-7-12 10:51

好象是要经过一个变换才能得到那个图形：comment:

  Implements a transformation based on the composite function:

z = G(F(z))

  Both F abd G are applied relative to a conjugating map
  defined as a Mobius transformation. For example, we define
  the conjugation of F with respect to the conjugating map
  MapF as:

z = Mobius.TransformPoint(MapF, F(Mobius.InverseTransformPoint(MapF, z)))

  a similar conjugation is defined for G. Finally, the
  composite function is applied Power times to z.

global:
  '
  ' Initialize conjugating maps MapF and MapG.
  '
  const Mobius MapF = Mobius.Identity()
  const Mobius MapG = Mobius.Identity()
  const Complex ApplyMapF = ShiftF <> 0 || AngleF <> 0 || ScaleF <> 1 || InvertF
  const Complex ApplyMapG = ShiftG <> 0 || AngleG <> 0 || ScaleG <> 1 || InvertG

  if (ApplyMapF) {
Mobius.Translate(MapF, ShiftF)
Mobius.Rotate(MapF, DegreeToRadian(AngleF))
Mobius.Scale(MapF, ScaleF)

if (InvertF) {
   Mobius.ApplyInversion(MapF)
}
  }
  if (ApplyMapG) {
Mobius.Translate(MapG, ShiftG)
Mobius.Rotate(MapG, DegreeToRadian(AngleG))
Mobius.Scale(MapG, ScaleG)

if (InvertG) {
   Mobius.ApplyInversion(MapG)
}
  }

transform:

  if (ApplyMapF) {
z = Mobius.TransformPoint(MapF, F(Mobius.InverseTransformPoint(MapF, z)))
  } else {
z = F(z)
  }
  if (ApplyMapG) {
z = Mobius.TransformPoint(MapG, G(Mobius.InverseTransformPoint(MapG, z)))
  } else {
z = G(z)
  }
  z *= Scale

properties:

  #include ComplexFunctions

  divider {
caption = "General"
  }
  option Scale {
type = Float
caption = "Scale"
details = "Scale factor applied to composite value"
default = 1
  }
  divider {
caption = "F(z)"
  }
  option F {
type = ComplexFunctions
caption = "F(z)"
default = Pow2
  }
  divider {
caption = "Conjugating map applied to F(z)"
  }
  option ShiftF {
type = Complex
caption = "Shift"
details = "Translation component"
default = 0
  }
  option ScaleF {
type = Float
caption = "Scale"
details = "Scale factor"
default = 1
  }
  option AngleF {
type = Float
caption = "Angle"
details = "Angle of rotation"
default = 0
range = [-360,360]
  }
  option InvertF {
type = Boolean
caption = "Invert"
details = "Apply complex inversion"
default = False
  }
  divider {
caption = "G(z)"
  }
  option G {
type = ComplexFunctions
caption = "G(z)"
default = Ident
  }
  divider {
caption = "Conjugating map applied to G(z)"
  }
  option ShiftG {
type = Complex
caption = "Shift"
details = "Translation component"
default = 0
  }
  option ScaleG {
type = Float
caption = "Scale"
details = "Scale factor"
default = 1
  }
  option AngleG {
type = Float
caption = "Angle"
details = "Angle of rotation"
default = 0
range = [-360,360]
  }
  option InvertG {
type = Boolean
caption = "Invert"
details = "Apply complex inversion"
default = False
  }

作者: changxde 时间: 2010-7-12 12:38

认真阅读源文件，成功破解，但着色仍需研究。

图片附件: NN.JPG (2010-7-12 12:38, 31.54 KB) / 下载次数 2056
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6020&k=78f4e6bd8736eb6f5079864a77455e53&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 学习FSK.gsp (2010-7-12 15:37, 31.94 KB) / 下载次数 2424
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6024&k=3a3d8f340f874ee8ba3eb8f2a8008ad5&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-12 12:54

changxde老师太有才了!能上传源文件吗?

作者: xyj200909 时间: 2010-7-12 13:00

changxde老师这样的文件都能看懂，厉害

作者: 柳烟 时间: 2010-7-12 13:28

changxde 确实厉害,为这东西,大家费了许多脑细胞,望changxde老师附上源文件,让板友们长点见识.

作者: xyj200909 时间: 2010-7-12 13:40

期待changxde的指导
上面我用推广的牛迭代公式作此题，开方运算有误，现在改正，效果如下

图片附件: 牛迭试验(纠错图）.jpg (2010-7-12 13:40, 47.94 KB) / 下载次数 2128
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6021&k=c34140acddebdad9ba103957e31f435a&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 牛迭试验(改）.gsp (2010-7-12 13:40, 18.39 KB) / 下载次数 2830
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6022&k=45bdef75665584b46979d593f4703351&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-7-12 14:19

各位板友,人在江湖,身不由已,我近个把月要出外,这段期间恐怕不能与各位聚首画坛,共研分形了.感谢各位的支持与帮助.向老师出的题,现在柳某研究了几天,仍无眉目.有板友破解,为你高兴.
这几天,我天天都关注受朋友们支持的帖子,希望大家慨慷些嘛.
以后,柳某提议,凡在我的帖子下跟帖的朋友,有图片,随之附上源文件,以方便大家学习,提高.

作者: math 时间: 2010-7-12 15:00

不必这么苛刻，changxde老师不是说了吗“还有待研究”。我想还是请changxde老师先说一下主要思路供大家参考，到底做了什么变换，其它问题都是大家知道的。至于着色我想xiaongxp老师会解决的。这样可能更快一些达到原图的实际效果。

作者: changxde 时间: 2010-7-12 15:36

这两天几位版友都为这个问题伤透了脑筋，我也一样，熬夜看程序思考，经过多次失败终于解决了问题。贴图时非常高兴竟忘了上源文件，请大家原谅，现已附上。

作者: changxde 时间: 2010-7-12 16:47

再扫一图

图片附件: screenshot1.JPG (2010-7-12 16:47, 38.54 KB) / 下载次数 2579
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6026&k=5ab9beaa382ca9e3a194e7e7dd9ea5cf&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 学习FSK2.gsp (2010-7-12 16:47, 31.97 KB) / 下载次数 3180
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6027&k=43518164acdaf32a7459ee39770e0a1b&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-12 17:18

63# changxde
谢谢。两个牛顿分形的迭代公式、c值、p的定义都一样，为什么图的结构有差异?你是怎么知道需那样定义p的？

作者: math 时间: 2010-7-12 17:18

原来就是这么简单的事，Z-Z+1/Z的变换。

作者: changxde 时间: 2010-7-12 17:24

同一个迭代公式，引入不同的变换可得不同的结果。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-12 20:45

学习了，对C作c+1/c变换，正好得35楼图

图片附件: 10071100027caace579b7be167.jpg (2010-7-12 20:45, 21.25 KB) / 下载次数 2563
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6028&k=18a711965736c60719b16cddd69639af&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: 牛迭f(z) = c^2z^4 - (c^4+1)z^2 + c^2.gsp (2010-7-12 20:49, 21.62 KB) / 下载次数 3241
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6031&k=3afcd828bdac8183a96407a4bbec3ee3&t=1715646347&sid=1pXu4w

图片附件: 双环链.jpg (2010-7-12 20:54, 54.01 KB) / 下载次数 2830
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6032&k=eee95cfd01ba053d308e2ef06daf4d3c&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-13 00:05

认真阅读源文件，成功破解，但着色仍需研究。
changxde 发表于 2010-7-12 12:38

感谢changxde老师提供源文件
自下了这个gsp文件，我一直在研究作色，很有收获。根据变换z→z+z^-1下f(z)=c^2*z^4 - (c^4+1)*z^2 + c^2，c=e^(iπ/4)的Newton迭代像收敛于四个根e^(ikπ/4) (i=1,2,3,4)，用终点横纵标及模构造色参RGB，可以以对应四色对不同连通区域作色。但边界的白化我始终没想出办法。这里，以同色区域内的变换（z→z+z^-1下）点为初值的迭代像收敛于同一根，如绿区对应于根e^(iπ/4)。这是我实验出的Newton分形按根作色原理。

此图由于边界没能白化，不能产生渐变效果，图形感染力不如changxde老师的灰度效果好。但是，Newton分形的按根作色是一个值得进一步研究的课题。
下面借用changxde老师的文件来佐证上述按根作色原理:

FSK.gsp (34.19 KB)
理论上讲，Newton分形的边界白化可用et等值圈向边界逐步淡化来实现，但实际做起来不大容易，值得研究。另外上面的按根作色法只适用于一个象限一根的情况，但一个象限几根的情况，问题就复杂了，这涉及如何将相邻两根的收敛域区别开来，可能要用到复变函数的一些知识吧。

图片附件: 1.jpg (2010-7-13 10:11, 27.94 KB) / 下载次数 3024
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6033&k=0befc54ebb68f06f4ebd40cbb8fe5173&t=1715646347&sid=1pXu4w

附件: FSK.gsp (2010-7-13 00:14, 34.19 KB) / 下载次数 5237
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6034&k=90d3f62698cb41273f721a638a4016bb&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: ljwxhlzp 时间: 2010-7-13 11:39

67# xyj200909
"对C作c+1/c变换，正好得35楼图"此话从何而来?

图片附件: a1.jpg (2010-7-13 11:39, 26.25 KB) / 下载次数 2575
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6036&k=411d50611bdf76ab677284610a22c750&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xyj200909 时间: 2010-7-13 12:41

69# ljwxhlzp
35楼math老师贴出的图

作者: xyj200909 时间: 2010-7-13 12:49

68# xiaongxp
老巷的话使我对着色的理解加深了，着色的重要目的之一就是用颜色突出迭代函数的某些性质

作者: math 时间: 2010-7-13 16:22

68# xiaongxp
但一个象限几根的情况?比如说什么样的迭代式

作者: math 时间: 2010-7-13 20:45

在xiaongxp老师着色的基础上加上et变化（改ln(et)为0.2et，感觉也不错：

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6038&k=e4b9245f2dd34ceab56b10fe9c99da45&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-14 02:27

效果开始接近了。图形要多扫两遍才能看出色彩渐变，但无论如何我不能将这个渐变作得更明显。
FSK[渐变色].jpg

FSK[渐变色].gsp (34.36 KB)

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6044&k=eea1a5b20d75f34b9db91bccf9dc4b57&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: changxde 时间: 2010-7-14 09:26

效果开始接近了。图形要多扫两遍才能看出色彩渐变，但无论如何我不能将这个渐变作得更明显。

xiaongxp老师又熬夜了，注意休息。

xiaongxp老师,在上面的着色中,为什么z移动颜色就改变了.

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-14 11:13

74# xiaongxp
渐变着色可以这样考虑：三个根归入三个相切的圆，按迭代终点到三个圆心的距离分别赋以红、黄
蓝三色，三圆外的着以背景色。渐变色以黑白为终止色。看看效果如何

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-14 13:00

76# xuefeiyang
这种作色技术我还没能掌握，老梅可能在行，期望他能出手给个范例。

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-14 13:21

75# changxde
过去我也为此纳闷过。一般来讲，我们常用自定义工具来作分形，如果工具中含有定义坐标系，那么文件中可能含有多个坐标系，若定义RGB的参数与et或em分属不同坐标系，就会出现这种状况，如我的《M集2.3.6.gsp》。但你的《FSK[渐变色].gsp 》只有一个坐标系，估计是极坐标和直角坐标混用引起的吧。出现这种状况，可以为我们调色带来机遇，我的很多分形色彩就是以此配合调出来的。

作者: xuefeiyang 时间: 2010-7-14 13:23

78# xiaongxp

我想不是这样的。是先着色后又改变了着色的公式，主要是引入了新的着色变量引起的。只要删除原来的轨迹，再重新构造轨迹就好了。

作者: xyj200909 时间: 2010-7-14 13:26

这个如何，试着用逃逸时间，根的位置角度，近似根的平均迭代位置位置三个数据着色

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-14 13:35

第一个仅用上面的最后一个参数灰度着色，第二个是三参数灰度着色，效果更佳

图片附件: 牛J着色试验1.jpg (2010-7-14 18:02, 24.75 KB) / 下载次数 2025
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作者: xiaongxp 时间: 2010-7-14 13:47

79# xuefeiyang
删了重来，确实如此，还是胡兄见识深。但为何是这样的，我糊涂了。

作者: xiaongxp 时间: 2010-7-14 13:55

81# xyj200909
第二个很好，如果能去掉圈圈，从外向内连续渐变就更好了。

作者: ljwxhlzp 时间: 2010-7-14 14:24

四个位置各规定一个颜色，用HSV着色，然后用 et 调整 S，应该可以达到效果，且可使边界亮化。

作者: changxde 时间: 2010-7-14 14:47

单参数着色.

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作者: changxde 时间: 2010-7-14 14:54

79# xuefeiyang

xuefeiyang老师说的对.

作者: ljwxhlzp 时间: 2010-7-14 16:54

用 changxde 老师85＃的文件试验 84＃的想法，是可以的。

图片附件: a1.jpg (2010-7-14 18:00, 29.14 KB) / 下载次数 1786
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作者: changxde 时间: 2010-7-14 17:20

定点着色,算法在图中.

楼上的能分享一下着色算法吗.

图片附件: screenshot8.jpg (2010-7-14 18:01, 32.25 KB) / 下载次数 1649
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作者: ljwxhlzp 时间: 2010-7-14 17:29

88# changxde

先要谢谢你的文件。

图片附件: a2.jpg (2010-7-14 18:01, 29.72 KB) / 下载次数 1718
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附件: 学习FSK彩色2.gsp (2010-7-14 17:29, 41.62 KB) / 下载次数 2384
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作者: math 时间: 2010-7-14 17:57

这就是通力协作的结果，唯一不足之处是第一、二象限还有et的痕迹：

图片附件: Nt.JPG (2010-7-14 17:57, 41.96 KB) / 下载次数 2058
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作者: xyj200909 时间: 2010-7-15 19:13

81# xyj200909
第二个很好，如果能去掉圈圈，从外向内连续渐变就更好了。
xiaongxp 发表于 2010-7-14 13:55

去掉逃逸时间着色，效果差不多，由于需要三个参数，再增加屏幕点与迭代终点的距离替换逃逸时间，实际上这个参数的影响不大
项链的形状之所以发生变化，主要是第三个参数-------迭代点的移动距离和，造成的

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作者: xyj200909 时间: 2010-7-15 19:18

90# math
如何将et的阶梯式着色，变成光滑的连续着色，值得研究

作者: changxde 时间: 2010-7-15 22:25

(z+1/z)^4+1的牛顿集

图片附件: screenshot17.jpg (2010-7-15 22:30, 31.99 KB) / 下载次数 1342
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作者: changxde 时间: 2010-7-15 22:59

图片附件: screenshot18.jpg (2010-7-27 19:51, 30.87 KB) / 下载次数 1287
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=6085&k=72acda6080f3a0a2023d57df74ea50fa&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 榕坚 时间: 2010-7-27 12:57

55# changxde

读了很多遍源文件，可是还是没找着那个变换的代码，changxde老师能否帮忙指点迷津。按你说的变换分形图是已经做出来了。

作者: changxde 时间: 2010-7-28 09:13

95# 榕坚

1.按常规方法做 z^4+1 的牛顿集.
2.绘制一新点 z' 作点(z'+1/z'),代换前面的z
3.对z'着色扫描,即得.

作者: 柳烟 时间: 2010-9-13 20:26

70# xyj200909
请问此M集的z定位何处？我造之怎么得不到此帖图呢？我看了君的原文件，没看明白z定位于那一点。

作者: 柳烟 时间: 2010-9-13 22:10

我已造出来了，原来是最早按向老师的方法造作的M集的基础上，对C实施c+1/c变换，就得到了。

(z) = c^2z^4 - (c^4+1)z^2 + c^2C=e^(iπ4)M集一.gsp (38.35 KB)

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附件: (z) = c^2z^4 - (c^4+1)z^2 + c^2C=e^(iπ4)M集一.gsp (2010-9-13 22:10, 38.35 KB) / 下载次数 1916
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作者: 柳烟 时间: 2010-9-13 22:53

实施c-1/c变换，则得：

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=7166&k=b59502dfe4d79a41ccf3cdebb70ad98e&t=1715646347&sid=1pXu4w

作者: 柳烟 时间: 2010-9-14 21:58

对45楼造好的文件，按前面板友的变换法，对C再实施牛迭变换，扫出二张图，美。

图片附件: 未命名12.JPG (2010-9-14 21:58, 26.69 KB) / 下载次数 990
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图片附件: 未命名13.JPG (2010-9-14 22:00, 26.5 KB) / 下载次数 984
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