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标题: 部分画板问题集锦（提问与解答） [打印本页]

作者: myzam 时间: 2012-7-12 13:44 标题: 部分画板问题集锦（提问与解答）

让你的大名在网络中传播，成为一种永恒，
挺诱人的，加入我的话题吧！
发现总是有人在问相同或类似的问题，很多问题都属于基础问题。于是我就想开一个话题，专门在这里解答基础问题，以便于大家查阅。这个话题只负责提出基础问题、解答基础问题。
1.这个话题是我开的，但并非由我来回答，希望能回答的人都来回答。
2.希望大家在这个话题里面写一些几何画板的基础知识介绍，群策群力开展好这个话题。
3.如果这个话题发展的好的话，定期我会把大家的发言制成chm格式的电子书发布。当然各位
的大名会保留下来。
4.要求每个发言都要自己取个标题，标题要与内容吻合。在这里以讨论简单问题为主。
5.如你闲懒得写，你安个名称，贴个链接也行。

作者: myzam 时间: 2012-7-12 14:33 标题: 初学画板遇到的问题

下面我按照菜单分类拟定了22个基础问题，望热心的版友写一下用法简介。其实写东西也能提高自身的水平，写东西还能帮助记忆自己掌握的东西。会而不写时间久了就会手生。
1.如何创建自定义工具？
2.文件菜单下的文档选项菜单是做什么用的？
3.编辑菜单下的按钮如何使用？
4.编辑菜单下的合并与分离项如何使用？
5.编辑菜单下的属性项如何使用？
6.编辑菜单下的偏好设置项如何用？
7.显示菜单下的轨迹追踪项如何用？
8.如何做动画？
9.如何显示文本设置栏？
10.如何构造垂线和平行线？
11.如何构造点的轨迹？
12.如何构造三角形的内部？如何用参数控制颜色？
13.如何使用变换菜单下的平移，缩放，反射，旋转项？
14.如何使用变换菜单下的迭代项？
14.如何做自定义变换？
15.如何度量“三点的比”？“三点的比”其含义是什么？
16.如何创建参数？
17.如何调用计算器？
18.如何创建函数？
19.如何绘制函数图象？
20.如何用点的坐标绘制点？
21.如何绘制参数方程的图像？
22.如何创建坐标系？

作者: inRm 时间: 2012-7-12 17:46

好话题，支持

作者: sun6448 时间: 2012-7-12 21:54

对于这些话题，论坛以前有些讨论

作者: fanqt2004 时间: 2012-7-13 09:32

好主意，你首先把以前的好贴收集一下

作者: myzam 时间: 2012-7-21 02:05 标题: QC问题集锦

本论坛网友解答的问题收集，收集的问题以初级问题为主。

1. 几何画板能对图形进行整体放大和缩小吗？
2. 如何让点在折线上运动？
3. 如何添加带下标的标签？
4.批量修改标签
5.点的坐标如何跟随点一起运动?
6.分段函数的表达
7. 任意角的标记
8. 画板中插入图片的问题
9. 如何给文本添加按钮？
10. 如何赋予按钮的逻辑判断功能
===============================
11. 如何迭代像上的点？
12.曲线的交点个数的讨论
13.如何把点限制在四边形的内部（含边界上）？
14.虚实线椭圆
15. 如何画一个大小固定的角？
16. 色彩控制问题
17. 一页两坐标系能行吗？
19.设置参数的精度
20.如何隐藏点确能显示点的标签？
====================
21.如何合并文本？
22.如何将脚本转换为pdf文件？
23. 对齐参数值
24. 方向键的应用
25.图片函数
26.关于”仿射比“的困惑
27.画板做选择题
28.网格的构建
29.裁剪图片
30.放大镜
================================================
31.CV曲线
32.汉字笔画显示还是图片做的好，工作量少
33.如何打造平面直角坐标系

作者: myzam 时间: 2012-7-21 04:03

2# myzam
我先来写一个入门级的，望各位版友没事的时候接着往下写。这22个问题写完后，我们论坛也弄本电子书发布一下，这样的书有，但是举的例子都太复杂了，我就想弄一个最初级的电子书。大家意下如何？
问题1：如何创建自定义工具？
下面以创建画三角形的自定义工具为例说明：
1.选中线段工具,在平面上绘制三角形ABC
2.选中点A,B,C和相应的链接线段AB,BC,CA
3.点击工具按钮，打开自定义工具。
4.再点击创建工具按钮，此时出现一对话框，框中显示"工具#1"
5.点击确定按钮。此时你就创建了你的第一个工具。
6.打开文件菜单，点击保存按钮，把文件保存到你的工具文件夹。
7.关闭几何画板，重新打开几何画板。再次打开工具按钮，你将看到你创建的工具#1，选中它，并在平面内点击，一个三角形将出现。
注意：如果你在创建自定义工具的时候失败，请适当的调整你选取的元素。关于工具标签的设置待续。
===============================================
在自定义工具中如何添加标签？
下面以创建线段中点工具为例说明如何在工具中给中点添加标签
1.在平面内画一线段AB
2.双击A点（标记缩放中心），选中B点，打开变换菜单，点击缩放按钮，把缩放比设置为1/2.点击对话框的确定按钮，中点出现。
接着打造工具
3.选中中点，打开右键菜单，选中属性项，此时，将弹出一对话框，选中对话框的标签按钮，在空白出输入: ={1}{2}，并勾选对话框选项：
  在工具中使用标签。
(意思就是当你使用工具时，如果线段的端点标签是X与Y,则中点的标签将为XY如此等等)。
4.用鼠标框选A,B点，中点和线段AB
5.打开工具按钮，点击创建工具项，这时一个新工具将被你创建，工具的名称是 "工具#2"，当然，可以这里给工具重新命名为:“中点”
6.打开文件菜单，点击保存按钮，工具就会保存到你的工具文件夹里面去。
7.关闭几何画板，并重新打开几何画板，点开工具按钮，此时，你将看到你创建的工具。如果你选中你创建的"中点"工具，
  在平面上点击你将看到一条线段的中点会产生，并且中点的名称由两个字母组成，这两个字母就是线段的端点的标签。如果线段的标签未显示，
  你可以通过右键菜单，到属性，到标签按钮去查看线段端点的标签。
注：由于元素的标签经常使用，所以最好能记住其快捷键：ctrl+/

作者: myzam 时间: 2012-7-21 11:34

2# myzam
问题2.文件菜单下的文档选项菜单是做什么用的？
  平时我们看到的几何画板都只有一页，如果你想创建多个页面的几何画板就需要用到文档选项按钮。其创建方法如下：
1.打开文件菜单
2.点击文档选项按钮，将弹出一个对话框。
3.点击增加页按钮，选中空白页
4.点击OK.
到此几何画板就变成了2页的几何画板了。要删除创建的页，其操作方法与上面类似。
问题3.编辑菜单下的按钮如何用？
几何画板一共提供了7类按钮，由于这里只是对几何画板最最简单的介绍，所以只简介动画按钮的用法。其余按钮类似。我们一建立线段上点的运动为例说明。
1.画线段AB,并在AB上任取一点C
2.选中点c，打开编辑菜单，点击动画按钮项。此时动画按钮出现。
点击按钮，点c就会在直线上来回运动。当然按钮属性是可以设置的，打开按钮的属性对话框的方式是：选中按钮，打开右键菜单，到属性项，就此打开了属性设置对话筐，此时你就可以对按钮的属性进行设置了。
问题4.编辑菜单下的合并与分离项怎么使用？
1.点线合并
  首先，画线段AB,和点C
其次，选中点和线段，
  最后，打开编辑菜单，点击合并项，此时你会发现点和线合并在一起了。
2.分离合并的点线
  对于上面的例子，我们选中线和点C,打开编辑菜单，点击分离项，此时你会发现，点C和线段AB
分离了。
问题5 编辑菜单下的属性项如何使用？
我们在平面内任意画一点A，选中点A，打开编辑菜单，点击属性项，这时属性对话框打开。原来
  编辑菜单下的属性项是用来打开平面内各种元素的属性对话框的。元素的属性对话框也可以通过右键
  菜单打开。
问题6 编辑菜单下的偏好设置项如何用？
打开编辑菜单，点击偏好设置，将弹出一个对话框。这个对话框是用来对页面进行整体设置的。
  如果打开了编辑菜单，并按下shift间，将弹出高级偏好设置对话框。其中第2项为采样率，在
  处理轨迹时会用到这个设置，采样率小占用内存就小。
问题7 显示菜单下的轨迹追踪项如何用？
实例：在平面上任意画一线段AB,选中它，打开显示菜单，点击追踪项，接着，你拖动线段AB，
  你将发现，在平面上留下了痕迹。这就是追踪项的用法。要去掉痕迹，你只要再次打开显示菜单
  点击擦除项，痕迹就会消失。如果你再次拖动线段，痕迹又会再次出现。要去除追踪，你必须再次
  选中线段AB,然后打开显示菜单，去掉追踪项前面的对勾就可以了。
问题8.如何做动画
这个问题已经在问题3中回答了。
问题9  如何显示文本设置栏？
   点击右面的大写字母A,文本设置栏会自动出现。
问题10 如何构造垂线和平行线？
   首先，画直线AB,并在平面内任取一点C,选中直线AB和点C,打开构造菜单，点击平行线项，就创建
了过点C，且平行于AB的一直线。垂线的构造法类似。
问题11  如何构造点的轨迹？
   实例：首先画一圆o，在圆周上任取一点A,连接OA线段。选中线段OA,打开构造菜单，点击中点
项，这样就构造了线段oA的中点M.接着依次选中A,M，打开构造菜单，点击轨迹项，一个园
就出现了，这个园就是中点M的轨迹。
在几何画板中轨迹总是由一个元素去驱动另一个元素来构成的。这两个元素有主动元和被动元
之分。构造轨迹时要先点击主动元，在点击被动元。
问题12 如何构造三角形内部？如何用参数控制色彩？
选中线段工具在平面上画出三角形ABC.接着选中三角形的三顶点A,B,C，按下ctrl+P，三角形
的内部够造完成。
接着打开数值菜单，点击计算器按钮，在计算中输入0.5，点击ok。一个参数值 t1 就产生了。
   我们选中最初构造的三角形内部，和参数t1，打开显示菜单，点击色彩项，在弹出的对话框中
点击参数，最后点击确定。这时三角形内部的颜色将随参数t1的改变而改变。如何观察这个
变化呢？你只要选中参数，在小键盘上按"+"或"-"号，你将观察到三角形内部的颜色改变了。
问题13 如何使用变换菜单下的平移，反射，旋转，缩放项？
平移：首先在平面内画一小线段AB,和一点C,选中A,B点，打开变换菜单，点击标记向量，接着
选中点C，再次打开变换菜单，点击平移，此时C就沿AB平移到了点C'.
   旋转：在平面内任意画一角AOB,和一线段xy，依次选中点A,O,B(O在中间)，打开变换菜单
点击标记角，接着双击点x，最后选中点y，再次打开变换菜单，点击旋转，此时y就绕点x
旋转了一个角度，其旋转量的大小为角AOB的大小。
反射：在平面内画一线段AB,和一点C,接着双击线段AB,然后选中点C，打开变换菜单，点击
反射，此时点c的像就出现了。
缩放：画线段AB,双击点A,选中B点，打开变换菜单，点击缩放，弹出对话框，输入缩放比，点击
ok。点B的像就出现了。
问题14 如何使用变换菜单下的迭代项？
迭代在几何画板中有着非常丰富的用法，这里只是及其简单的介绍。
例子1.几何迭代
在平面上画一圆O,在圆上取一点A,连接OA,选中线段OA,按下ctrl+M,线段OA的中点M就出现了。接着以O为圆心，OM为半径画一圆。
选中点A,打开变换菜单，点击迭代，在对话框中点击点M,点击ok，我们发现出现了若干小圆，它们就是最初的圆的迭代像。
如果你选中迭代像，按下小键盘的加号或减号，
迭代像就会增加或减少。这个例子告诉我们迭代其实就是数学上的多值映射，其元素分为原像和像。
例子2.代数迭代
打开数值菜单，点击计算器，输入10，点击ok，这就创建了一个参数t1=10.再次打开计算器，计算t1+1=11.
   选中参数t1，打开变换菜单，点击迭代，在弹出的对话框中点击t1+1，点击确定，此时t1的迭代像出现。通过小键盘的+,-号可以调整迭代像
的多少。
   例子3.深度迭代
所谓深度迭代，就是用以个参数去控制迭代次数。它与普通迭代并无本质的差别。
我们还是用例子2来说明。
打开计算器，创建参数t1=10，n=3 ，并再次通过计算器计算t1+1=11.
   选中t1，n（叫迭代深度，必须在最后选举），打开变换菜单，按下shift键，此时将看到深度迭代项按钮，点击它，此时t1的迭代像将出现。
如果此时选中迭代深度n，按下小键盘的“+”“-”号，就会发现迭代像在增加或减少。注意：通常要设置参数n的属性，还记得属性对话筐
是如何打开的吗？对了，右键菜单。就是说选中n，右键菜单打开n的属性对话框，点击参数按钮，要把参数的变化单位设置为1.
问题15 如何度量三点的比？其含义是什么？
   我们画一直线AB,这条直线可以看着一维仿射空间。其中点A是原点，点B是单位点。在直线上任取一点C，那么点C的仿射坐标为AC/AB(这里
的线段是有向线段)。所谓直线上三点PQR的比，指的就是在以P为原点，Q为单位点的一维仿射坐标系中，点R的仿射坐标。
例子：画一线段AB,在AB上任取一点C.依次选中A,B,C,打开度量菜单，点击“比”，得一数值t，这个t=AC/AB.其实就是仿射坐标系的仿射坐标。
仿射几何就是比值几何！
问题16 如何创建参数？
打开数值菜单，点击参数，点击ok，就可以创建参数t1.其快捷键为shift+ctrl+P(Prameter)

问题17 如何调用计算器？
打开数值菜单，点击计算器按钮即可。快捷方式：ctrl+=
特别注意，计算器也是创建参数的一种方式。
问题18 如何创建函数？
打开度量菜单，点击数值菜单，点击“函数”，在弹出的对话框中输入函数即可。快捷键ctrl+F .(function)
问题19 如何绘制函数的图像？
首先，要按上面的方法创建函数表达式，接着选中表达式，打开图形菜单，点击“绘制函数图形”按钮即可。
  当然也可以通过右键菜单绘制函数的图形。
问题20 如何用点的坐标绘制点？
首先，创建参数t1=1，t2=2
接着，选中参数t1，t2，打开图形菜单，点击绘制点按钮即可。‘
注意：先选中的参数t1是横坐标，后选中的参数t2是纵坐标。

问题21 如何绘制参数方程的图像？
首先打开数值菜单，点击函数按钮，在对话框中输入2*x+1，点击ok。此时创建函数f(x)
  接着，再次打开数值菜单，点击函数按钮，在对话框中输入x^2,点击ok。此时创建了函数g(x).
最后，选中函数f(x),g(x)(第一个是横坐标，第2个是纵坐标)，打开图形菜单，点击”绘制参数曲线“按钮，由这两个方程
  确定的参数曲线就绘制了出来。

问题22 如何创建坐标系？
打开图形菜单，点击”定义坐标系统“按钮，就可以创建直角坐标系。
  当然，采用类似的方法可以创建极坐标系。
  要隐藏坐标系的网格，就首先要选中网格，再按下ctrl+H(Hide)即可。
  注意：ctrl+H是隐藏对象的快捷方式。这是使用频率很高的一个快捷键，希记住之。

作者: lisubo 时间: 2012-7-21 12:50

8# myzam

顶！大力支持！

作者: 周传高 时间: 2012-7-21 14:38

有意思的工作。本主题加精了。

作者: myzam 时间: 2012-7-23 13:03

问题23:如何输入点的标签？
  a.在平面内任意画一点，选中点，并按下ctrl+/,将弹出对话框，此时输入A,点击ok即可。
  b.同上，如果在对话框中输入A{^2}，则2是大A的上标。上标只能是数字。
c.同a，如果在对话框中输入{alpha}{beta}{sigma}{Sigma}等等，则得不同的希纳字母。
前提是你要知道希纳字母的英文拼写法。
   Alpha对应的是大写。其余类似。
d.同a，在对话框中输入A[2],A[a]将得下标。下标可以是数字，字母。但上标只可以是数字。
e.在平面内画3点，选中3点，按下ctrl+/,则弹出标签属性对话框。在框中输入E,点击ok，则
三点的标签依次为E,F,G;如果在对话框中输入E1，则三点的标签依次为E1,E2，E3;如果在
在对话框中输入的是EA,则三点的标签依次为EA,EB,EC;如果在对话框中输入：
=EF{...}X,则三点的标签依次为EFX,EGX,EHX.
  f.如果在打造工具时，点为另两点的派生点，如果希望派生点的标签由基础点的标签决定，则
可以如下输入派生点的标签：=A{1}{2}.像这样输入标签后，当你使用工具的时候，如果基础点
的标签是A,B,则派生点的标签会显示成AAB,如果基础点的标签是u，v则派生点的标签为Auv。
g. 箭头号输入：{->},推得号输入：{=>},
h.小于等于：{lte}(little equal),大于等于：{gte}(greate equal)
其它的unicode符号可以通过复制粘贴输入，我发现QQ拼音无法直接输入到几何画板，但搜狗拼音可以做到，而且搜狗拼音可以直角输入部分数学符号如：属于，不属于，≤，≥，子集。几何画板
在帮助文档里面明确指出只能直接输入上面的符号，但可以识别一切unicode符号。unicode符号
是比ASCII符号更大的一个符号集。
附：为方便起见，特把几何画板中可言直接输入的希纳字母列出如下：
1. α alpha;
2. β  beta ;
3.  Γ  Gamma,  γ  gamma ; 4 . Δ Delta, δ  delta ;
5. ε  epsilon ;6 ζ  zeta;
7.η  eta ;
8.  Θ  Theta,  θ  theta;  9.ι  iota;
10. κ  kappa ;
11.  Λ Lambda, λ  lambda ;
12. μ mu;
13. ν  nu;
14.  Ξ Xi , ξ  xi;
15.Π  Pi, π  pi ;
16. ρ  rho ;
17.  Σ Sigma, σ  sigma;
18.τ  tau
19.Υ Upsilon,  υ  upsilon ;
20.  Φ Phi,  φ  phi ;  21. χ  chi  ;
22.  Ψ Psi, ψ  psi;
23.  Ω Omega, ω  omega .
注意：如果希纳大写字母同英语字母，则只有小写输入。
   输入格式为：{Pi}{pi}
问题24 几何画板可以产生随机数吗？
按下alt+=，点开函数按钮，可以看到，几何画板没有随机函数。那么几何画板是不是不可以产生随机数呢？否。可以产生随机数。方法如下：
1.画一线段AB,在其上任取一点C，度量A,B,C三点的仿射比t。t的值域为[0,1]的闭区间。
2.选中点C，打开编辑菜单，点击动画按钮，生成一个动画按钮，取名为SJ.
  3.点击按钮sj，点c就开始运动，且t的值在不断的变化。我们选中线段AB,和点C，按下ctrl+H,隐藏它们。
4.选中按钮sj，右键打开按钮属性设置对话框。在方向栏里设置动画方式为“随机”，ok。
点击按钮sj，t的值就是0到1间的随机数。有了0~1间的随机数，就可以产生任何范围捏的随机数了，还可以进一步的产生随机整数。
如：trunc(100t)便是100以内的随机整数。有了随机数就可以进一步的做随机试验的课件了。

问题25：如何Do箭头？

1.平面内画一线段AB
2.选中点A，向上平移0.5cm得点C
3.以B为圆心，C为半径作圆。该圆与线段AB交于点D.
4.双击点B,以确定旋转中心，利用变换让点D绕点B转动+25度和-25度。分别得点
  E,F,连接BE,BF得箭头。
5.隐藏掉圆，和点E,F.
6框选剩余的元素便可创建箭头工具。
箭头的美观自己设计。

作者: myzam 时间: 2012-7-24 15:43

问题26.关于“点的比”的含义是什么？
修订：2012.8.26
几何画板的对应单词是ratio----比的意思。
那么是什么样的比呢？答案是：仿射比。
  那么什么是仿射比呢？
1.一维空间
作直线ab，这就建立了一维仿射空间，其原点是a，单位点是b。然后我们在直线上任取一点c，我们把
比值ac/ab记作t，t就是点c在一维仿射空间上的仿射坐标。因此几何画板汉化版中所谓“点的值”（英语是ratio---比）指的就是放射比或仿射坐标。
  如果，此时我们把点c从直线ab上分离出来，t的值依然存在，为什么会这样你呢？当c分离出来后，如果
你作出c点到直线ab的垂足d，你去度量d关于a，b两点的比值k，你将发现t=k。原来此时是c点在ab上正投影
的仿射比。这就解释了为什么a，b，c三点不共线时，度量它们的比的按钮是灰色的原因。
2.二维空间
在平面上去三点o，a，b建立二维仿射空间。o为原点，a，b 是两轴上的单位点。在平面上任取一点M
过m分别作ob，oa的平行线，分别叫oa，ob于x，y两点。度量o，a，x的比得u，度量o，b，y的比v，
则（u，v）就是点M的二维仿射坐标。
问题27.如何裁剪图片？
1.只能用多边形去裁剪图片。
  2.外部图片通过拖动，可以进入几何画板的页面
  3.假设我们咋页面内有一个四边形abcd和一幅图片p。
  4.四边形abcd与图片重合在一起，
  5.同时选中它们。想一想复制粘贴是在那一个菜单下？对了：在编辑菜单下。
当你同时选择图片和四边形时，编辑菜单下的裁剪命令被激活了。点它。到此图片裁剪完成。
  6.现在我不想裁剪了，希望恢复图片的原状，怎么办呢？
选中图片，再次打开编辑菜单，此时分离命令被激活了，点它，图片就又从多边形中分离出来了。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-24 16:04

问题26.关于“点的值”的含义是什么？
……
2.二维空间
在平面上去三点o，a，b建立二维仿射空间。o为原点，a，b 是两轴上的单位点。在平面上任取一点M
过m分别作ob，oa的平行线，分别叫oa，ob于x，y两点。度量o，a，x的比得u，度量o，b，y的比v，
则（u，v）就是点M的二维仿射坐标。myzam 发表于 2012-7-24 15:43

精辟，顿开茅塞！

作者: myzam 时间: 2012-7-25 12:26

问题28. 如何使用隐藏按钮？
   这个按钮的用法简单，实例：
1.在平面内画一点A
   2.选中点A,打开编辑菜单，选中隐藏按钮项，点击确定，就创建了一个隐藏按钮hide。
   3.设置按钮hide的属性：
   选中按钮hide，右键打开属性设置对话框，有三个选项：a）仅仅显示，b）仅仅隐藏，d）隐藏与显示交替。
问题29.如使用声音按钮？
   声音是波动的反映，我们先来制作声波函数f=10sin(100x ），然后按下列次序操作：
   { 选中f  ===>  打开编辑菜单===> 点击按钮项 ===>  点击声音按钮===>ok}
   点击你创建的声音按钮，你就可以听见声音了。
问题30.如何使用滚动按钮？
   我们在页面右下角画一点A，接着创滚动按钮：
{ 选中A ===>  打开编辑菜单===> 点击按钮项 ===>  点击滚动按钮===>ok}
   此时，你点击你创建的滚动按钮发现页面滚动了。
通过右键菜单进入滚动按钮的属性设置：a）点A滚动到左上角  ，b）点A滚动到中央。
问题31.如何使用动画按钮？
   在线段AB上任取一点C,按下面的方式创建动画按钮：
   { 选中C ===>  打开编辑菜单===> 点击按钮项 ===>  点击动画按钮===>ok}
      此时你就创建了一个名为animate的动画按钮。
   属性设置：
   {右键---> 属性---> 方向或速度---方向属性有4个：总向前，总向后，两边，随机--速度属性有：-慢，中，快，立即---可选项1个：仅仅动一次}
问题32.如何使用移动按钮？
  在线段AB上画上2点x，y。选中x，y，同上创建名为move的移动按钮。
属性设置：
{右键---> 属性--->--速度属性有：-慢，中，快，立即，---单选项2个：a）跟随目标，b）追击目标的初始位置}

问题33. 如何使用链接动作按钮？
首先我们创建两也，方法如下：
{ 打开文件菜单===> 点击文档项===>创建新页===> ok}，此时创建了名为1,2的两个页面。
连接按钮用法1：
   在页面1，画一点A,在页面2，画一点B 。
   不需要选中点A或点B，直接创建连接按钮：
{ 在页面1===> 打开编辑菜单===> 点击按钮项 ===>  点击链接按钮===>ok}页面1创建的连接按钮叫 L1.
接着在页面2画一点C，创建点C的按钮动画，按钮叫B2.
页面1的连接按钮L1的属性设置：
{右键---> 属性--->页面--->选中名字叫2的页面,并在对话框中选中按钮选项--->点击对话框中的B2--->ok}
这样就在页面1里创建了一个指向页面2的连接按钮，并且L1按钮还会调用页面2的动画按钮B2.
此时，点击连接按钮L1，就有页面1跳转到了页面2，且页面2的动画会自动运行。
如果页面2有多个动画按钮，我们可以把这些动画按钮组成系列按钮，然后再由L1调用。
连接按钮用法2：
在页面l创建连接按钮L1.
属性设置：
{右键---> 属性--->url栏输入F:/M.gif--->ok}
此时点击连接按钮L1，将会打开本地文件M.gif。
连接按钮用法3：
首先在页面1创建名为L1的连接按钮
属性设置：
{右键---> 属性--->url栏:http:\\www.hao123.com--->ok}
此时点击L1，页面会跳转到网页：好123.
如果页面1,2创建互相指向的连接按钮就会形成永不停歇的跳转。当然这得配合动画按钮和系列按钮完成。

问题34.如何使用系列按钮？
首先在页面上画2点a，b。
接着创建这两点的动画。动画按钮叫a1，b1。
我们可以新创建一个名为P的按钮控制这两个动画按钮。这就是系列按钮。
{ 选中按钮a1，b1 ===>  打开编辑菜单===> 点击按钮项 ===>  点击系列按钮===>ok}。
点击按钮p，会发现点a，b都动了。
属性设置：
{右键---> 属性--->同时动或按先后动--->ok}
如果单选项你选择了---同时动
则下面又有两组大的选项块：
a）在开始之前：有3个多选项，你可以按序勾选。
  b)停此条件：有3个单选项，给出了动画停此条件。
余下类似。
好了按钮就简单的说道这里。
总之学习按钮，必须一个一个的操作。实验时用的例子千万不不复杂。你只有动手把按钮的属性一个个的试玩后，才可以说了解了按钮。
问题35. 如何在线段上进行等距离迭代，且迭代像不超出线段？
1.换线段AB,并创建参数t=1cm
2.选中A点，打开变换菜单--->点击平移---->点击参数 t=1cm，水平移动--->ok。此时得到了点A平移的像点A'.
接着，以A为圆心，AA' 为半径画圆，交线段AB于点A1.
最后隐藏圆和线段AB，圆A, 点A' .
3.创建参数n=3，将作为迭代深度使用。
  选中点A，n-->打开变换菜单--->按下shift键--->进行深度迭代: A对应A1 --->ok.
  此时点A的深度迭代像出现。删除多余的迭代像。
最后，让线段AB显示出来，把不需要的圆和点A' 隐藏掉。到此线段AB上的等距离迭代像制作完成。
但是，如果你选中迭代深度，利用小键盘的+，- 号，增加或减少迭代像的个数，你会发现，
迭代像会超出线段AB.
4.替换：度量线段AB的长dcm,并计算d/n,接着双击参数 t，打开其编辑菜单，然后把参数的值修改为d/n，ok。
5.检验：选中迭代深度 n，点击小键盘的+，- 号键，你会发现线段AB 的外部不再有迭代像了。
6.隐藏多余的点。ok。
注意：关键的一步是取代参数的值。黎曼积分和的制作也要用到这种取代的技法。还有网格化的球面制作，我也用到了这
种迭代后再取代参数的值的技术。
也许你会奇怪，替换这一步是不是多此一举？不是。如果你直接把迭代的步长 t 取为 d/n 迭代，等距迭代像出现不了。不信你就试试。

问题36. 点的值与缩放是怎样的关系关系？
前面面的问题26谈到了点的值的含义，这里再次复习一下。我还是得重申，下一次的汉化版中应该把“的的值”翻译为
“三点的比”或“仿射比”。共线三点abc的比就是ac/ab.含义就是以a为原点，b为单位点，求得的比就是这个一维仿射
坐标系里面点c 的仿射坐标。
在看所放，已知点a，点b，以a为中心，对b点缩放，得到b的像点为 b‘，此时的缩放比为：ab'/ab.由此看出缩放就是已知点
的仿射坐标，在一维仿射坐标系（a为原点，b为单位点）里面描出点b’，缩放是点的值的逆过程。
如果我们给出如下几个参数：
t=1，对b点缩放，会发现缩放得到的点就在b点的位置，
如果t=-1，缩放得到的点在b关于a的中心对称的位置，
如果t=1/0,b点被缩放到正的无穷远的地方去了，能成功缩放，但是你看不到像点。
如果t=-1/0,b点被缩放到负的无穷远的地方去了。
如果t=sqrt(-1)=undefined,缩放不能进行。
看了这些特例你不会不同意就和画板里面的比指的就是坐标吧。
总之：求点的值（叫仿射比）就是求点的坐标，对点按比缩放，就是已知点的坐标，在坐标系里描点。它们构成了一对互逆的操作。
【问题37】如何把角的范围变成0度~360度？
画板中通过编辑菜单---偏好设置---单位---角属性设置：角属性有2类（2类）三种，有向度（=弧度制），无向度.
对对于无向度本问题不讨论。这里只讨论当角属性为有向度的情况，此时角的范围是：  -180度~180度。
设角有向的度数为t ,t属于区间(-180度，180度)，把t化为区间(0度,360度)范围内的角公式为：
t-360度*sgn(sgn(t)-1)  .
问题38.如何对二阶递推数列迭代出通项？
例子：二阶递推数列设为a[1]=-1，a[2]=1，a[n]=a[n-1]+a[n-2].该数列详细的写出来就是{1,1,2，3,5,8，...}.
【第一点】
假设有一迭代为：原像1--->像1，
            原像2--->像2，
            原像3--->像3，
            。。。。
            n为迭代深度，
经深度迭代后，画板生成一张表格，表个的第1列为n，n的取值在表格中依次为0.1.2,.....,表格的第2列为迭代像，依次为：像1，像2，像3，。。。，
如下： --------------
            |n | 像 |
            ------------
            |0 |像1 |
            ------------
            |1 |像2 |
            ------------
            |2 |像3 |
            ------------
            |3 |像4 |
就是说迭代的表格第2列列出的是象，第1列列出的是迭代深度。特别是n=0，意味着还没迭代，此时这一行列出的是初像。很明显，第1个对应的原像在
表格中总是不会列出来。这一点对于理解数列的迭代表格很重要。
【第二点】：构建迭代，取t1=2，t2=3，并计算t3=t1+t2=5.这个数列的通项就是t[k]=t[k-1]+t[k-2],其中t[1]=2,t[2]=3即{2,3,5,8,13,...}
下面在画板中按如下规则迭代：
      t1--->t2
         t2--->t3=t1+t2
         n----迭代深度。
迭代后表格的像列显示的数据为：5,8,13,21，...,下面来分析为什么是这样显示。
理解：t1=2，t2=3，并计算t3=t1+t2=5，这个规则确定的数列是{2,3,5,8,13,21，。。。}，我们把对应列出来：
      2--->3--->2+3
         3--->5--->3+5
         5--->8--->5+8
         8--->13--->8+13
         13--->21--->34
         由于表格它会列出迭代的像，我们看看来这个深度迭代的像是5,8,13,21.34 ，。。。，这就是表格中列出的像列数据的来源。
      大致可以这样来记忆这个特征，迭代时每个数列的初值被丢掉，初值是不会在表格的像列里显示出来的。
【第三点】要迭代出数列{1,1,2,5,3,8，。。。}就必须选取适当的初值。这里给出计算合适初值的方法：
这还是要把数列排出出来：t1,t2,t1+t2,2*t1+t2,...,
根据上面的讨论这是二阶递推，初值有2个--t1，t2，这两个值在表格中是不会显示出来的。因此表格中显示的第一个数据为t1+t2,显示的第2个数据为
2*t1+t2，令t1+t2=1,2*t1+t2=1,解方程组，得t1=1，t2=0.如果我们以这组初值迭代，表格中显示的就是{1,1,3,5,8，。。。}这就是裴波那契数列。
总之，画板表格显示的数列，和数学中显示的数列约有点差别。
【第四点】迭代裴波那契数列的和s
         我们只要在上面的迭代增加一个对应关系就可以了：
      t1--->t2
         t2--->t3=t1+t2
         s=0--->s+(t1+t2)
         n----迭代深度。
为便于交流可以把这种迭代叫“串列”式迭代。
【第五点】如果在表格要给出编号为1,2,3，。。。的序号，就在增加一个对应：k=0--->k+1.
【思考1】如何迭代显示数列：a1=1,a2=1,a3=1,a[n]=a[n-1]+a[n-2]+a[n-3].要求表格显示的数据为{3,5,9,17,...}
【思考2】如何在表格中显示数列：a1=1,a2=3,a[n]=a[n-1]/a[n-2].
注意1：迭代和 s 的时候，s的初值取0最简单，因为此时迭代出来的直接就是和。如果s 的初值取10，则迭代出来的结果要减去10才是和。
注意2：迭代实际上就是循环运算，和的迭代式其实就是：s=s+(t0+t1)反复循环的结果。
注意3：迭代要正常进行必须区分清楚原像和像。形象的讲在画板中就是要正确区分哪些是基本元素，那些是有基本元素派生出去的元素。原像在基本元素中找，像要在派生元素中找(不严格，大致的标准)。
注意4：3,4。。。阶数列的跌代求和是类似的。
【问题39】如何打造画椭圆和双曲线的工具？打造画椭圆，双曲线的工具方法很多，这里介绍一种：----中垂线法。
1.在平面内画两点a ，b，以a为圆心，ab为半径画圆。
2.在圆上任取一点c，过a，c画直线ac，
3.再在圆内任取一点d，连接dc，并画出dc的中垂线，交直线ac于点m
4.构造点c驱动点m的轨迹。到此就把椭圆和双曲线一起构造了出来。
打造工具：1.选中a，b，d三点
2.继续选中轨迹。
3.点开工具按钮，点击创建工具，一个画椭圆的工具就完成了。
特别注意拖动d点的位置到园外，轨迹变成了双曲线。
【问题40】如何打造画抛物线的工具？
1.画线段ab，过a作ab的垂线l
2.在l 上任取一点m，且过m作ab的平行线 l‘
3.连接mb，并画出mb的中垂线，它交 l’ 于点n
4.构造以m驱动n的点的轨迹，抛物线画成。
打造工具：
选中点a，b和轨迹，点开工具按钮，点击创建新工具，ok。抛物线工具作成。
[问题41]如何把纯小数各位上的数字通过迭代分离出来？
【问题42】画板中的两个数“undefined”和“无穷大”有用吗？

作者: myzam 时间: 2012-7-25 14:06

世间万物分两态
  阴与阳，对与错，
   虚与实，呈现与消隐，
         两种状态，两个数字，
            画板自成一世界，芸芸众生，生在其中，
                     阴阳八卦，五行相克，生生不息。
---注释：看了上面的文字，你可能以为我在讲阴阳五行，说风到水，其实我讲的是数学中的逻辑代数。
风水先生讲的是阴阳，计算机专家讲的是两态，数学家讲的是o，1。其实还是阴阳先生的水平最高。
千年之前我们的祖先就明白了逻辑代数，真是伟大。
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[问题41]如何把纯小数各位上的数字通过迭代分离出来？
假设小数为纯小数。非纯小数做法类似。
1.创建参数t=0.4771---代表要要分离个数位上的数字的小数。
2.创建参数n=2---作为迭代深度
3.计算num=t*10--->再计算trunc(num)
4.跌代：
t--->num
n--->迭代深度，
完成迭代后在表格中将分别显示出数0.4771的各位数字。
注意：参数范围的设计,请同右键属性菜单设计。其次几何画板只能进行数值运算，实际结果将显示成：4,7，7,0,9,9,9,9,9，.....
在构建迭代时需然我们只是对t--->num 迭代，但是几何画板是智能的，它会自动附带的完成迭代：num--->trunc(num)

【问题42】画板中的两个数“undefined”和“无穷大”有用吗？
画板进行数值计算时会出现计算器数：undefined和“∞”。如sqrt（-1)=undefined,1/0=∞,-1/0=-∞,1/∞=0,∞/∞=undefined.
0/0=undefined.这些运算都是计算机的特殊规定。无穷大的数，只能存在于我们的梦里，计算机真的能做出我们梦里那个的那个无穷大的数来？
它不可能做的了。计算机里面的无穷大是编程者设置了数的范围，当一个数达到了某个范围后就用∞表示。好了还是来看看这几个特殊的数的简单应用吧，
一）undefined的应用
1.做一线段ab，在其上取一点c，并度量出abc三点的比t，并计算k=sqrt(sgn(t-0.5))，这个参数k描述了点c的位置如下：
  c---在ab中点的左面时，k=undefined
c--在ab中点的右面或中点时，k=1.（两态）
2.在平面内绘制点d，e，创建按钮butt，用来隐藏点e。
3.双击点d（确定它为缩放中心），选中点e，按参数k对点e缩放，得到像点 e', 此时把d和 e’ 连接起来。ok。
4.观察拖动点c，你会发现一条线段时隐时现。
二）“∞”的应用
1.同上画线段，但这次我们把k值改为：k=2/(1+sgn(t-0.5))
2.同上面的操作一样，这样同样可以得到一条时隐时现的线段。
注意：c---在ab中点左面时，k=∞
      c---在ab中点右面时，k=1.
这两个数可以用来做虚实线工具。这些可以叫做消隐。从逻辑上来看就是两态。
问题43 如何在迭代中防迭代？
什么意思？又要迭代还要防迭代，矛盾的嘛.废话少说，还是来看一个例子吧：
有一数列a[1]=5,a[n]=a[n-1]+2,我们希望迭代出这个数列同时在迭代的表中显示5/3=1.666666.....,
我们按下列规则迭代：
首先创建参数t1=5，n=2（将作为迭代深度）
其次，计算t1+2，t1/3
最后迭代：
t1--->t1+2
n---作为迭代深度。
迭代出的表格你会发现共三列有一列为t1/3,但是这一列的数据在不断的变换。我迭代的本意是这一列出现的数据始终是5/3=1.66666.....,
显然这张迭代表格不合乎我们的要求。我们修改一点点：
1.计算t1*1
2.取代：把迭代时计算的t1/3中的t1用这时的t1*1取代。（为什么不直接把t1换成常量5？如果你要打造工具你就会发现如此，不是多余的）
此时你将发现表格的t1/3这一列的数全是1.6666，这就达到了我们的要求。
总结：迭代后取代参数的值是迭代中防迭代的重要技法。我在制作黎曼积分和，最大公约数，最小公倍数，既约分数时都用到了这钟迭代中防迭代的技巧。

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作者: fanqt2004 时间: 2012-7-28 09:23

这项工作好，支持

作者: myzam 时间: 2012-7-28 09:48

16# fanqt2004
支持要有实际行动哦，你也得写点啊，我自己写起太累了。呵呵。

作者: mjj_ljh 时间: 2012-7-28 17:28

赵老师有才华，有热情，此贴不顶说不过去，赵老师辛苦了。

作者: myzam 时间: 2012-7-28 19:21

18# mjj_ljh
梅老师过奖了。梅老师是画板论坛的分形先驱，我一直想学习分形，改天向你学习分形。梅老师的经验也是非常的丰富。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-29 08:38

14# myzam
老兄大才，佩服。问题37可解决我最近的一个问题了，谢谢老兄。

作者: inRm 时间: 2012-7-29 09:22

12# myzam

几何画板中“点的值”的概念与“彷射比”不尽相同，仅在“直线”上适用“彷射比”。

作者: myzam 时间: 2012-7-29 10:09

21# inRm
我认为是一样的，因为，如果你在直线ab上度量出三点abc的比，然后把点c从直线ab上分离，三点的比的数值还是存在，并会随着分离出来的点的变化而变化，但是如果你把分离出来的点的再正投影到原来的直线上去得到点c‘，再次度量投影点和直线上abc’三点的比，你会发现前后两次的比是相等的。所以，我认为分离只是表象，本质始终是直线上三点的比。这个比不是单比也不是定比，准确的讲就是以a为原点，b为单位点的c的在直线ab上的投影点的仿射坐标。如果我的理解有误，就得修改前面的问题。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-29 10:26

对于直线型曲线而言，因为其上的点是均匀分布的，所以赵老师的说法正确，如多边形上的点的值；对轨迹线而言，由于点的分布有疏有密，此说法不成立。

作者: myzam 时间: 2012-7-29 10:35

23# xiaongxp

问题1：圆上有三点abc，如何直接度量这三点的比？
问题2：y=x^2的图形三有三点abc如何直接度量出这山点的比？
我强调的是直接。
退一步，我不管你用什么方法度量出了问题1,2中的比，
我们做一条水平直线，把abc三点平行投影到这条水平投影上去得a'b'c'三点，这时度量出a'b'c'三点的比，再和你度量出来的比看看差别在哪里。你们还是没说服我。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-29 10:54

24# myzam
是我没把问题阐述清楚。我讲的是点的值，关于点值问题，坛中已有专贴。而要将仿射比与点值等效起来，必要条件是曲线（平直的）作为点集应是紧致连续且均匀的。

作者: myzam 时间: 2012-7-29 11:29

25# xiaongxp
仿射比在平行投影下是保持不变的。点的比问题是三个点如果不共性就是灰色的，只有共线的三点才可以激活按钮。比的根就是“共线三点的仿射比”，坦率的讲，我记得读书的时候老师在射影几何里只讲过曲线或直线上4点的交比，没讲过曲线上三点的仿射比这个概念（除非引入无穷远点，这是空间变成了扩大的仿射空间了），所以我对论坛里出现紧致连续和仿射比挂勾的文章也好奇。想找来看看。仿射几何中引入仿射比是基于一切仿射不变量都可以用仿射比表出，如果没有这个定理，仿射比就没存在的理由了。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-29 12:16

26# myzam
当然只能在三点共线时才能谈仿射比，这是仿射几何的常识，不共线时按Shift也就是为了获得线外一点在线上的投影。在线性条件下，你的问题26见解独到，我受益匪浅。我所指曲线是点不均匀分布的轨迹型平直线（可以是直线、线段、射线等形式），不同于有画板快捷工具和菜单命令作出的。请看这个文件：

点值、比、仿射比.gsp (7.01 KB)

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作者: dfszlzp 时间: 2012-7-30 11:43

难道编写几何画板的高手不知道仿射比？非要偷换一个概念“点值”？
由此就可以设想，点值就是几何画板特设的一个概念，为的就是解决构图问题

作者: myzam 时间: 2012-7-30 14:36

27# xiaongxp
你还是没说服我。呵呵。回复在文件中。对不起今天才注意到你的文件，所以才回复和你的讨论。
=

点值、比、仿射比（myzam回复）.gsp (8.96 KB) =

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18149&k=589989df403db1a7e9200c370fce2f38&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: changxde 时间: 2012-7-30 16:47

看了各位的讨论，我感觉点的值和仿射比还是有很大区别的，点的值应用更广泛些，而仿射比仅是点在仿射直线上的值。下面的例子我认为用仿射比不太好解释。
点A在轨迹直线L上的值

附件: 点的值？仿射比.gsp (2012-7-30 16:47, 2.9 KB) / 下载次数 7759
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18153&k=0ed3fc10ab59aed0840a00901c68f930&t=1713502759&sid=jcbJE6

图片附件: 00.gif (2012-7-30 20:29, 10.26 KB) / 下载次数 7163
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18155&k=61a1199f7ded2908d32c6ca65314e7ab&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: myzam 时间: 2012-7-30 20:05

30# changxde
不好意思，我没看懂你的文件要表达的意思。嘻嘻。

作者: 清风2011 时间: 2012-7-31 17:32

这工作太有意义了，对初学者会有很大帮助，为几何画板的普及，将起到积极的推动作用。在此谢谢大师们！

作者: inRm 时间: 2012-7-31 18:04

22# myzam

在线段（射线）上、圆（弧）上、多边形上、轨迹线上、函数曲线上... 怎么解释“彷射比”？

作者: myzam 时间: 2012-7-31 19:23

33# inRm
我们讨论这个问题，就要先理理几个概念。
1.关于仿射几何中的单比的定义：
已知直线AB上有一点C,关于ABC三点的单比定义为：AC/BC,一般记着（ABC）（规律为：端点分点，端点分点）,单比是仿射几何中的最基本的不变量。
仿射几何的定理：仿射几何中的一切不变量都可以用单比表出。几何画板里面的点的比ratio很明显不是单比，它是单比的函数。因为画板中的ABC三点
的比为：AC/AB,如果我们记ABC三点的单比为t即t=（ABC）,记几何画板中度量出来的ABC三点的比为k，则k=f（t）=1/(1-t).k同样不是解析几何中的
C分AB成的定比，C分AB成的定比k1 同样是单比的函数K1=g（t）= -t，事实上单比在仿射几何里面的地位相当于距离，夹角在欧式几何里面的地位。
其实距离和夹角就是欧式几何（简言之：高中，初中用的几何）的基本不变量，欧式几何里面的一切不变量都可以有距离和夹角这两个基本的不变量表出。
2.仿射变换的含义
这里给出几何法下的定义：平行投影的积就叫仿射变换。代数定义与这里的讨论无关。
3.单比为什么是仿射几何的基本不变量？
定理：单比经仿射变换保持不变。
正是这个定理，肯定了单比在仿射几何中的地位类似于距离夹角在欧式几何里的地位。这个定理同时也说明了单比的函数也在仿射变换中保持不变。
无论我们的仿射变换做的多面花哨，要想改变单比那是徒劳的。理论就是这样的。
几何画板中的仿射变换采用的是：正投影的积来定义的，猜测这么做是为了简化编程。几何画板中的仿射变换没有采用斜投影。
实例：度量直线上三点ABC的比t，把C从直线AB上分离出来，把分离出来的点依旧记着C，作C到AB的正投影点C‘，度量ABC’ 的比t1，你会发现
永远是t=t‘。关于曲线上的比，要从射影几何说起，
4.待续

作者: myzam 时间: 2012-7-31 19:46

接上：
4.交比(复比)的定义。
射影几何中直线上4点ABCD的交比定义为：AC/BC ： AC/BD,记着(AB,CD)，AB叫基点偶，CD叫分点偶。从定义上可以看出(AB,CD)=(ABC) ：(ABD)就是两个单比之比，故叫交比或复比。当D点是直线上的无穷远点时，（ABD）=1，此时(ABCD)=(ABC),也就是说交比的第4个点是无穷远点时，交比的值就是ABC三点的单比。纯净的仿射几何是没有无穷远点这个概念的。当我们在仿射几何里面引入了无穷远点后，仿射空间就叫扩大的仿射空间了。
5.交比的性质：
定理：交比经射影变换后保持不变。形象的讲交比在射影几何中的位置类似于距离夹角在欧式几何里面的位置。一切射影不变量都是交比的函数。
什么是射影变换？这个问题于这里的讨论没关系，但有一个与讨论有关的定理：就是仿射变换一定是射影变换。由4知道，当D为无穷远点时，(ABC)
=(ABCD),所以交比具有的性质单比都具备。另外中心投影就是射影变换，从射影几何的角度看平行投影其实是中心在无穷远处的投影。
6.交比的性质：
定理：交比经投影和截影保持不变。（中心投影平行投影）
比如：在直线l上有四点ABCD,在直线外取一点P（可以是无穷远点），连接PA,PB,PC,PD,用以直线m去截PA,PB,PC,PD得四点A1，B1，C1,D1按定理有：
(AB;CD)=(A1B1;C1D1)----这就是所谓的截影下不变。在说投影下不变类似。
由此得到，单比同样经投影和截影会保持不变。
7.圆锥曲线上四点的交比的定义
。。。。。写起来太多了

作者: myzam 时间: 2012-7-31 20:14

7.圆锥曲线上四点的交比定义
首先给出一个记号：直线1和直线2的夹角记着 a12.
定义：在射影几何中，在圆锥曲线上有四点ABCD,在射影几何中的圆锥曲线上取定一点P，则PA,PB,PC,PD构成4直线，取名为1,2,3,4.我们定义
比值：sin(a13)/sin(a23) ： sin（a14）/sin(a24)为圆锥曲线上四点的交比。记着(AB;CD),此时，四点的交比
同样经投影（中心投影）后保持不变。也就是无论用多面花哨的射影变换要想改变交比是图徒劳的。如果我们在射影几何的圆锥曲线上
（射影几何中无平行的概念，射影几何中任意的两线都相交。所以射影几何中的投影只有中心投影）
Q,用Q与ABCD形成的四线来计算交比，值是一样的。，因为经中心投影不会改变。特别注意：交比定义中中心P是圆锥曲线上任意的一点。注意在射影几何中圆与椭圆是一回事。在射影几何中要去区分圆和椭圆就相当于在初中几何中要去辨别直线和直线的差别一样。
前面我们知道，当交比的第4个点为无穷远点时交比就是单比。由此可以看到在扩大的仿射空间中，椭圆，双曲线，抛物线（除去圆）上讨论三点的单比是毫无意义的，因为无法满足圆锥曲线上四点交比的定义。。圆上可以讨论四点的交比。但是圆上没有无穷远点，不可能去讨论三点的单比。
还有一个要注意的问题：仿射几何是射影几何的子几何。就是说射影几何的定理必须在仿射几何中也能成立。结论：画板根据上面的数学知识：几何画板中不可能去讨论一般曲线（圆除外）上四点的交比，交比都不能讨论，单比就更不可能讨论了，因为圆上没有无穷远点，因为那样做是反数学知识的。所以无论怎么样变换，几何画板里面的比，根本就是直线上三点的仿射比1/(1-t)
8.如果在画板中一A原点，B为单位点建立仿射坐标系，那么
第1：在AB山任取一点C，求ABC三点的比等于是求C的坐标。
第2：已知直线上一点D的坐标是k，在直线AB上描点，等于是用缩放菜单下的缩放命令：以A为中心，对B按比例k的缩放得到的像点就是D在一维仿射空间中的图像。
所以画板中的求比和缩放是一对互逆的命令。
纯属个个人意见。不一定对。

作者: edison00001 时间: 2012-8-1 11:51

问题一：
为什么0^0会定义成1,0/0会显示无定义？
就算要定义都应该定义成全体复数吗？？
问题二：有没有好的曲线拟合工具？需要用来拟合轨迹。用来拟合反导数轨迹效果不好。
问题三：

图片附件: 未命名.JPG (2012-8-1 11:51, 50.61 KB) / 下载次数 4964
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作者: edison00001 时间: 2012-8-1 11:53

37# edison00001

主要是“参数N”弄不明白。。。
问题四：几何画板有没有复数平台工具。。。难道分形就是嘛？？怎么用？？

作者: edison00001 时间: 2012-8-1 11:58

分形有没有人试过5,6,7,8次求根公式来做分形？？？一个无关画板操作的问题。

作者: inRm 时间: 2012-8-1 12:56

34# myzam

还真不知道一个“彷射”有这么多花头。长知识了。

“实例：度量直线上三点ABC的比t，把C从直线AB上分离出来，把分离出来的点依旧记着C，作C到AB的正投影点C‘，度量ABC’ 的比t1，你会发现永远是t=t‘。”

如果AB是线段呢？还会是“永远”吗？

作者: myzam 时间: 2012-8-1 17:06

40# inRm
我们都可以保留自己的意见，好在这不影响对画板的操作。
这种情况如果分离了点的话，画板自动按直线计算比值。

作者: myzam 时间: 2012-8-1 17:24

37# edison00001
问题1：我是这么理解的，仅供参数：
数学上的含义：o^0,0/0都没意义。
画板是计算机运行，0^0是画板作者规定它等于1的，0/0=undefined也是画板作者规定的。并不是说我们的计算有误。类似的还有1/(无穷大)=0,1/0=(无穷大)，这牵涉到画板作者的设计，我们无处考究作者做了那些特殊规定。
问题2：曲线拟合的工具论坛有，你可以搜索找到。
关于你的工具参数N，不知道是什么含义，你得调出脚本视图看说明，如果没有就只能看着脚本操作了。但愿有脚本视图里面有使用说明，愿上帝保佑你吧，呵呵。
复数平台也有，在论坛搜，应该说还多。

作者: edison00001 时间: 2012-8-4 14:08

谢谢。问题已经解决，或者说问题无法解决。

作者: 林淡1979 时间: 2012-8-16 09:43

功德无量！此贴必火！

作者: inRm 时间: 2012-8-16 10:58

《几何画板》“点值”的定义：
设有点A和线B，在线B上作距离点A最近的点C，则
1. 如果线B是线段、圆弧，则点C距线B起点之线长与线B总长之比为点A的点值。
2. 如果线B是射线、直线，则点C的彷射比为点A的点值。
3. 如果线B是圆，则点C的方位角与圆周角之比为点A的点值。
4. 如果线B是轨迹线，则点C所处位置的采样数与总采样数之比为点A的点值。
5. 如果线B是函数曲线，则点C的横坐标即点A的点值。
6. 如果线B是多边形的周边，则类似圆弧。

有点罗嗦，请大家共同完善。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-16 13:44

不知如何解释角平分线上的点的值

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-16 13:59

角平分线的单位点总在一个半径为1.25503cm的圆上，数据1.25503有何奥妙？

角平分线的单位点总在一个半径为1.25503cm的圆上.gsp (3.21 KB)

附件: 角平分线的单位点总在一个半径为1.25503cm的圆上.gsp (2012-8-16 14:02, 3.21 KB) / 下载次数 5128
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作者: myzam 时间: 2012-8-18 21:51 标题: 貌似共线三点的比

共线三点的比.zip (3.34 KB)

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作者: myzam 时间: 2012-8-24 12:41

画板：关于度量菜单命令“比”和“点的值”帮助文档原文翻译，翻译尽量忠实原文。不加以主观意断，但本人水平有限，只能尽量完成。：
几何画板帮助文件翻译：
Ratio（比值）：Selection prerequisites: Two segments or three collinear points
选择先决条件：两线段或三共线点
Collinear points are points that lie on the same straight line.
共线的点位于同一直线上。
This Measure menu command measures the ratio of two lengths or distances.
这个度量菜单命令度量的是两长度或距离的比。
• If two segments are selected, this command measures the ratio of the length of the first selected segment to the length of the second.
如果两线段被选中，这个命令度量的是第一条线段的长度与第二条线段的长度之比。
• If three collinear points A, B, and C are selected in order, this command measures the ratio of the distance AC to the distance AB.
如果共线三点被依序选中，这个命令度量的是距离AC和距离AB之比。
If points B and C are on the same side of A, the ratio is positive; if B and C are on opposite sides of A, the ratio is negative.
如果B,C在A的同一边，比值是正的，如果B，C在的两边，比值是负的。
Another way to think of the ratio defined by three collinear points is to think of a number line with its origin at point A and its unit point at B.
另一种看待被定义的共线三点的比值的方式是看成一根数轴，它具有原点A和单位点B。
The position of point C on this number line determines the value of the measurement.
在数轴上的C点的位置决定度量的值。
C is between A and B,so the ratio is between 0 and 1.
如果C在A,B之间，那么比值就在0,1之间
C is beyond B, so the ratio is greater than 1.
如果C超出B，那么比值就大于1.
C is beyond A, so the ratio is less than 0.
如果C超出A，那么比值就小于0
If point C is constructed on straight object AB, the ratio measurement is the same as the value of point C on its path. In this case it’s easier to select only point C and choose Measure | Value of Point.
如果点C被创建到直对象AB上，比值的度量和点在路径上的值是相同的。
这种情况下，仅选择点C然后再挑选度量菜单下的“点的值”命令来度量就要更容易些。
---------------------
点的值待续
说明：从帮助文档可以看出把三点的比当成一维仿射坐标系解读，这也是我大力推荐的，按这种理解，对于解读点的值就容易多了。

作者: myzam 时间: 2012-8-24 13:54

几何画板帮助文件翻译：
说明：翻译没有认为的解读，原文怎么说就怎么翻译的，所以个别句子有点长和不好理解。看了这个原版翻译，我想对点的值的理解应该是清楚了。

Value of point(点的值)：Selection prerequisites: One or more points constructed on path objects,
选中先决条件：被创建在路径对象上的一个或多个点，
or one path object and one point not on the path
或者是一个路径和一个不在路径上的点。
If the selection is a path and a point not on the path,
如果你选中的是一条路径和不在路径上的一个点，
you must hold the Shift key to enable the command.
你应该按下shift键，才可以使用命令。
This Measure menu command measures the selected point’s relative position on the path
on which it is constructed.
这个度量菜单命令度量的是被选中的点在被创建的路径上的相关位置。
The measured value depends on the type of path.
度量值依赖于路径的类型。
If a path and a point not on the path are selected,
如果一条路径和一个不在路径上的点被选中，
the command measures the value of the location on the path that’s closest to the selected point.
这个命令度量的是在路径上最接近被选中的点的位置值。
For some path objects, including axes, function plots, and parametric loci,
对一些路径对象，包括轴，函数图形，参数轨迹，
the value of a point is determined explicitly by the numbering of the axis or by the value of the parameter.
点的值被轴的数值，或参数的值明确的确定下来。
For other path objects, the value of a point is determined relative to the defining points of the path.
对于另外的路径对象，点的值的确定与定义点的路径相关。
For instance, points on segments, rays, lines, or arcs are measured relative to the two defining points,
例如：点在线段，射线，直线，弧上被度量关系到两个定义点。
which are assigned values of 0 and 1.
这两个定义点的值为0,1.
Points on closed paths (including circles and interiors) are measured relative to a defined starting point that
is assigned a value of 0; these values go from 0 up to (but not including) 1.
点在封闭的路径上（包括圆，内部）被度量就与值为0的起点有关，这些值从0上升到1,（不包括1）。
===列表：第一行是对象，紧接着的一行是值===============
Object对象
Possible Values可能值

Segment线段
0 ≤ t ≤ 1

Ray射线
0 ≤ t

Line or Axis直线和轴
all real numbers全体实数

Circle圆
0 ≤ t < 1

Arc弧
0 ≤ t ≤ 1

Interior (Circle Interior, Polygon, or Arc Interior)内部（圆内，多边形，或弧内部）
0 ≤ t < 1

Point Locus defined by a point driver被一个点驱动定义的点的轨迹
0 ≤ t ≤ 1

Point Locus defined by a parameter driver被一个参数驱动定义的点的轨迹
domain of driving parameter驱动参数的范围

Function Plot函数图形
domain of independent variable自变量的范围
========表格完==============
后记：各种情况下点的值代表什么上述表格都列出来了。

作者: inRm 时间: 2012-8-24 14:21

感谢 myzam

作者: myzam 时间: 2012-8-24 14:28

51# inRm
the command measures the value of the location on the path that’s closest to the selected point.
这个命令度量的是在路径上最接近被选中的点的位置值。
==================================
这句话我真没理解他背后的含义。

作者: inRm 时间: 2012-8-24 15:02

路径(Pn)是点的集合，路径上的每个点 Pi 都可以用一个特定意义的“数值”来定义其位置（距路径起点的距离或相对于起终点的比例）。在路径 Pn 上至少有一个点 Pa 相距给定点P最近，则点Pa的值就是给定点P相对于路径Pn的值。

作者: myzam 时间: 2012-8-24 17:45

我可以用作图的例子证明，我以前说的关于比是对的。点的值同样本质上就是共线三点的比，轨迹也不例外。
例子将逐一发表。我再次强调：共线三点的比解读为一维仿射坐标系中的点的坐标。用这个观点可以统一的解读三点的比和点的值。我把我的观点复述一遍：
1.a，b，c三点的比为：相当于a是坐标原点，b是单位点，在这个坐标系里面c点的坐标就是共线三点的比。
2.设a，b，c三点共线，求出a，b，c三点的比为k，把c从直线ab上分离，比值k依然存在。
3.点的值：
第一点，前面翻译的帮助文件已经明确说明如果是直对象，“比”和“点的值”是一样的。
第二点：重要：已知直线ab，c是线ab外一点，度量出c对直线ab的点的值，这个值的含义就是：
把c正投影到直线ab上得点c‘，点的值=a,b,c' 的比。
这个要点在帮助文件里面有提醒
【来自于帮助文件the command measures the value of the location on the path that’s closest to the selected point.
这个命令度量的是在路径上最接近被选中的点的位置值。
】

。这个观点是后面说明点的值就是三点的比的出发点。无一例外的可以说明点的值低层就是三点的比。点的值只不过是三点的比的简化操作吧了。

作者: myzam 时间: 2012-8-24 18:16

先发两个例子说明点的值=三点的比，于下的证明例子后发。

点的值1.gsp (9.29 KB)

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附件: 点的值3.gsp (2012-8-24 22:59, 12.54 KB) / 下载次数 6555
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18488&k=17e2223c9e46cda248b3741d901b7dd8&t=1713502759&sid=jcbJE6

附件: 弓形点的值=共线三点的比.gsp (2012-8-25 00:55, 11.16 KB) / 下载次数 6400
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附件: 点对抛物线轨迹的值=共线三点的比.gsp (2012-8-25 01:45, 12.59 KB) / 下载次数 6311
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作者: 29678417 时间: 2012-8-24 20:58

说明一下摆线上点的值是哪三点的比?

图片附件: bx.JPG (2012-8-24 20:58, 9.38 KB) / 下载次数 5778
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作者: myzam 时间: 2012-8-24 21:05

56# 29678417

我可以给你展成直线段，变成3点的比，55楼“点的值2”就是把一弓形展成直线段，最后成为共线三点比。与边界上点的浓密度无关。你可以下下来参考着把你的摆线展成直线上三点的比。

作者: 29678417 时间: 2012-8-24 22:00

57# myzam

展开成直线段后的长度比是不对的.

正如你前面所讲:
"Point Locus defined by a point driver被一个点驱动定义的点的轨迹
0 ≤ t ≤ 1"

所以F的点值由F点所对应的驱动点C的位置决定,并非弧长

作者: myzam 时间: 2012-8-24 23:00

58# 29678417
我作品都做了出来。在上面。

作者: 29678417 时间: 2012-8-24 23:15

59# myzam

55#的作品中没包括轨迹,我是说对于轨迹展开成直线段不适用.

举个栗子:
A是BC弧(圆O的一部分)上一点,另外再画一圆E,在圆上取动点M,半径EM交BC弧于D,构造D的轨迹L1
则L1与BC弧完全重合
分别度量A在BC弧和L1上的值,两者完全不同
而A在L1上的值与A点对应的M点即射线EA与圆的交点N在圆E上的值相同
也就是A在轨迹L1上的值不是分轨迹长度的比值,而是由驱动点在圆E上位置决定

图片附件: GJ.JPG (2012-8-24 23:15, 11.58 KB) / 下载次数 5814
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作者: myzam 时间: 2012-8-25 02:35

56# 29678417

点对旋轮线的值=共线三点的比。
我之所以总说：点的值=共线三点的比，是分析帮助文档的结果。
看了这个作品，你的观点将被彻底否定。
到现在帮助文档说的点的值我都验证了一遍，它们都=共线三点的比，这是一个正确的观的。
总之理解点的值时，把三点的比解读为坐标最为方便。
有一个观点是明显的错误，人为点对曲线的值与曲线上点的密度有关，这是一个特别错误的观点。
正确的思路是紧扣帮助文档，把点的值解读为共线三点的值，那么一切都会清楚名了。
直线型不用解释，帮助文档明确说明两者是一回事。曲线形要少加分析才会找到点的值和共线三点的
比的关系的一致性。我个人的观点，仅仅共参考。

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作者: myzam 时间: 2012-8-25 03:02

点对参数曲线的值=共线三点的值的又一个例子,
如果从映射的观点来看的话，相当于把x轴上的点映射到了曲线上，对应为
e---->e,x--->曲线上的B点。而且AB的长是点A到曲线的最小距离。（帮助文档说的）
所一点的值可以用来求最值。作切线。我在图中就作出了过B的切线。
如果不理清点的值和共线三点的比的关系，有时就会觉得晕晕的。
如果要解释点的值=共线三点比成立的原因，从映射的角度解释就可以了。
几何性质必须要在特定的一类变换下保持不变，否则就没资格叫几何性质，直线上的三点才可以做到在特定的一类变换下保持不变。所以点的在曲线上的值只是表象，共线三点的比才是根本。

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附件: 点驱动的轨迹的情形.gsp (2012-8-25 03:45, 11.02 KB) / 下载次数 3000
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作者: myzam 时间: 2012-8-25 08:49

点的值=三点的比总结：
1.原因：
设V是一直线型对象，如线段，射线，直线，多边形等，T是一映射，这个映射T的作用下，V的像为T（V）,如像为圆，弧，曲线，轨迹等等。
在V上取三点A,B,X，以A为原点，B为单位，则A,B,X三点的比为（A,B,X）在变换T的作用下A,B,X变成了T(A),T(B),T(X),这是曲线上的三点，
假设我们在曲线上直接定义三点T(A),T(B),T(X)的比，将出现这样一种情况：就是通常在变换下定义的所谓比值要变，得不到保持。几何学是这样
说的：只有在某一类（不是一个）变换下保持不变的性质才叫几何性质。所以直接在曲线上定义三点的比是没有意义的。那么画板是怎么做的呢？
画板是它们的原像即直线上三点的比（A,B,X）定义为点T（X）对T（V）的值。这样在理论上可以看到：
“点的值： = ”共线三点的比“
2.点M不在曲线V上，点对曲线V的比是如果定义的呢？
画板分两步定义的
第一步：在曲线V上找到和M距离最小的点M'
第二步：M'既然在曲线上，而曲线可以看成某直线型映射得到的，故M'在直线型上有一点M"和他对应。这样直线上找三点A,B，M',,最后通过直线上三点A,B,M"的比去规定M对曲线V的值。

附件: 点对轨迹的值=共线三点的比.gsp (2012-8-25 10:48, 6.24 KB) / 下载次数 2973
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18499&k=3c7811f57d117147c8f199733fe63bb4&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-25 10:38

63# myzam

画板的程序设计者是如何设计判断曲线上的点哪一个是到定点距离最近的呢？其数学原理是什么？

作者: myzam 时间: 2012-8-25 10:56

64# xuefeiyang
说的好，但是你没看前面帮助文档：原文：
If a path and a point not on the path are selected,
如果一条路径和一个不在路径上的点被选中，
the command measures the value of the location on the path that’s closest to the selected point.
这个命令度量的是在路径上最接近被选中的点的位置值。
。如何你要知道画板作者是怎么编的程序，等着我打电话问，但是我只能录音了。玩笑，呵呵。
其实开始这句话我也没理解，我问了方老师，他解释了一下我才明白含义的。这里就是最小值的意思.

作者: xuefeiyang 时间: 2012-8-25 11:03

据你所说几何画板原版应该能完成上述操作：选中曲线及曲线外一点可以度量其值。而我所用的汉化版就没有这个功能。并且是最近更新的汉化版。

作者: inRm 时间: 2012-8-25 11:31

选中曲线及曲线外一点，再按下Shift即可度量点值了

作者: myzam 时间: 2012-8-25 11:56

《含在点的值里面的帮助文档》
How to Construct a Slider
怎样构建滑块 Often it is useful to construct a slider for controlling a numeric value.
通常对于控制数值构建滑块是有用的。
For example, if you wanted to create a graph of the line y = mx + b in which you can slide a point back and forth to control the values of m and b,
例如，如果你想要创建一幅直线y=mx+b的图像，以便你可以往返的滑动一个点以达到控制m和b的值，
you might want to set up sliders for m and b.
你可以为m和b建造滑块。
To make a slider for m:
为m建造滑块：
1. Use the Line tool to construct a line. Label the two resulting points A and B.
使用直线工具创建一直线，并把直线的生成点标记为A和B.
2. Use the Point tool to construct point C on the line.
使用点工具在直线上创建点C.
3. Select point C and choose Measure | Value of Point.
选中点C，然后在度量菜单下选中“点的值”
4. Select and hide the line and point B, leaving only two points and the measured ratio.
选中并隐藏直线和点B, 只留下2个点和度量的比。
5. Construct a segment connecting A and C.
创建一线段连接A和C.
6. Double-click the measured ratio with the Text tool, and set its label to m.
用文本工具双击度量的比（按下 ctrl+/  即可），然后设置它的标签为m。
Hide point A, and change the label of point C to m to match the label of the value.
隐藏点A,然后改变点C的标签为m，以匹配值的标签。
Your basic slider is complete. As you drag point m, the value changes accordingly.
你的基本滑块就做好了。当你拖动点m时，值将有相应的变化。
You can vary this construction for a number of purposes.
为了多种用途，你可以改变这个滑块。
• For positive values, use a ray instead of a line in step 1.
对应正值，在第一步用射线代替直线。
• For values between 0 and 1, use a segment instead of a line in step 1.
对一值在0,1之间时，在第一步用线段代替直线。
• For a different scale, change the distance from A to B, or multiply the slider value by some scaling factor.
对于不同的刻度，改变A到B的距离，或用一些比例因子乘以滑块的值。
• For integer values, use the Calculator to round the value of the slider.
对于整数值，使用计算器来近似滑块的值。
You can also create a numeric value (a parameter) directly,
using the Graph | New Parameter command.
你也可以使用图像菜单下的“新参数”命令直接创建一个数值（一个参数的）
翻译注：这个命令应在在5.03版的数值菜单下。
The advantage of the slider described here is that sliding the control point back and forth provides a powerful, visual way to change the value.
这儿被描述的滑块的优势是往返的滑动点提供了一种强有力的，常用的改变值的方式。
注解：如果不熟悉点的值这个命令，用点的比一样的可以完成这些工作。只要顺手就行。

作者: myzam 时间: 2012-8-25 12:45

点的值还与最小值和切线有关

附件: 点的值---最小距离，切线.gsp (2012-8-25 12:45, 5.32 KB) / 下载次数 3152
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18503&k=ceead68384774db68d332f34da70303b&t=1713502759&sid=jcbJE6

附件: 轨迹：点对y=0.2x^3-x^2的值=共线三点的比.gsp (2012-8-25 13:57, 5.31 KB) / 下载次数 3019
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18504&k=44bfcc61b548e2b7feac3aff0edf785b&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-25 14:05

。本人对赵老师的“点的值=三点的比”向任意曲线的推广阐述不敢苟同，61#说“有一个观点是明显的错误，认为点对曲线的值与曲线上点的密度有关，这是一个特别错误的观点。”，这更是极端错误的。
   我以为，几何画板中曲线上的点的值=曲线上该点到原点的像素点个数÷原点到单位点的像素点个数，前面再添上这三点的顺序符“±”。
   所以，当曲线上点的密度均匀时赵老师的“点的值=三点的比”完全正确，而密度不均时就错了。我们来看看下面动画，所设曲线为用第一定义绘制的椭圆曲线，将其显示为“离散的”就可以发现点的不均匀分布，将采样数设为20，计算出椭圆上点G的值的20倍，这个值就是这20个点列的顺序值。这应该可以支持我对“点的值”的理解了。
   我现在最为困惑的是角平分线的单位点是怎样定义的，解决了此，其点值也就清楚了。

轨迹线上点值的意义.gsp (4.09 KB)

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作者: myzam 时间: 2012-8-25 14:08

70# xiaongxp
有争论才好。
1.但是你看我上楼图形中的例子，按你的说法就不均匀，但是它就是等于共线直线上三点O,A,B的比。
还有前面我给出的弓形，扇形都可以和共线三点的值对应起来，它们的线密度都不是一样的，但它们的确都等于共线三点的比。
2.而且帮助文档里面从头到尾都没提到采样率，只讲到距离之比，位置值，最近点，这些关键字，我老觉得你把简单问题想复杂了。我慢慢的研究一下你的例子。你这么想肯定有你的道理。
3.我个人认为采样率是控制显示的一个量。而点的值是用来描述数学关系的一个量，它们的功能不同，类别不一样。或则说采样率是控制电脑显示性能，或软件运行性能的一个量。而比值，点的值等是刻画数学性质的一个量，逻辑上它们应该没关系。
我好好的研究了你的观点再说。
我下文件来研究了，我把采样率设置为原来的20倍了，但测量出的点的值还是没变。我再看看。说真的我觉得得我这种处理观点更数学化点。我觉得得你的观点有像研究物理。你的文件我还得要琢磨琢磨。

作者: myzam 时间: 2012-8-25 14:59

60# 29678417

起点对应0点值，很重要。如果找错就全错。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-25 15:13

70# xiaongxp
有争论才好。
...
我下文件来研究了，我把采样率设置为原来的20倍了，但测量出的点的值还是没变。我再看看。说真的我觉得得我这种处理观点更数学化点。我觉得得你的观点有像研究物理。你的文件我还得要琢磨琢磨。
myzam 发表于 2012-8-25 14:08

点的值当然与采样数无关。我们在电脑屏幕上所画的曲线，是由屏幕上一组像素点列构成的，而采样数是指从这些像素点中采集的样本点个数，如果将定义曲线上的这些像素点列看成单下标变量，那么这里的采样是对下标的等距采样，所以不管采样数设为多少，采样点的位置值（下标）在变，但点值不变。电脑显示出的曲线，并不是真正的曲线，而是由样本点顺次连成的折线。所以，采样数反映的是曲线的光滑度，可设定，但屏幕像素点个数由显示器刷新率确定，刷新率越高，所画曲线越精确。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-25 15:43

。我也理解了赵老师的观点，其实我们俩是从两个不同的角度阐释“点的值”，是等价的。正如赵老师所说我的理解是“物理”的（我想还是数学的）；而赵老师的观点是将曲线上的3点作了一个变换——映照成了直线上3点，用新的三点比来定义曲线上点的值，的确数学意义浓浓的。通过讨论，我对曲线的点值的理解更深了，从“物理的”和“数学的”两方面。不过，说点值与曲线的密度无关还是待商榷。
读大学时老师讲过一个典故，说是一决策者要搞一次头脑风暴，请来几个数学家推荐如何捉一只老虎。代数学家说：画只老虎放进笼子里；拓扑学家说：把自己关进笼子里。在数学家们看来，他们都逮到了可怕的老虎！

作者: myzam 时间: 2012-8-25 16:10

74# xiaongxp
对。我们思考的角度不同。其实结果都是一样的。

作者: myzam 时间: 2012-8-25 16:32

这是画板中点的值的帮助文档，我把我的理解些在这里共参考
为了说起来方便起见除个别外，假定点S都在曲线上。
===列表：第一行是对象，紧接着的一行是值===============
Object对象
Possible Values可能值

Segment线段
0 ≤ t ≤ 1
--------------------------------------------------------
解读：
S点的值的范围为[0,1],意思是S在线段上有位置值t，t属于区间[0,1].
0,1,t形成共线三点的比。
关于线段上的位置值，可以解读为长度，也可以把线段本身看成一个坐标系统，
那么0就是线段坐标系统的原点，1就是线段坐标系统的单位，这样位置值t就可以
解读为线段坐标系统中点的坐标。当然也可以说t是线段0t的有向长度。方便就行。下面的位置
值类似。
--------------------------
Ray射线
0 ≤ t
----------------------------
解读：S在射线上，对应位置值t，t属于区间[0,无穷大)，
o,1,t对应共线三点的比。
------------------------------
Line or Axis直线和轴
all real numbers全体实数
---------------------------------
解读：S在直线上，S有一个位置值t，t属于R.
三点0,1，t形成共线三点的比。
S在x轴上（y轴上一样），S有一个位置值x，
x轴三点（0,0），（1,0），（x，0）形成共线三点的比。
---------------------------------------

Circle圆
0 ≤ t < 1
-------------------------------------------------
解读：S是圆上一点，对应位置值t，三点0,1，t形成共线三点的比。
这里的位置值可以解读为扫过的圆心角的大小，也可以解读为扫过的弧长。
------------------------------------------------
Arc弧
0 ≤ t ≤ 1
----------------------------
解读：S是圆弧上一点，对应位置值t，
三点0,1，t形成三点的比。
-----------------------------
Interior (Circle Interior, Polygon, or Arc Interior)内部（圆内，多边形，或弧内部）
0 ≤ t < 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------
解读：S为内部一点，S的位置值t，
三点0,1，t形成三点的比。
-----------------------------------------------
Point Locus defined by a point driver被一个点驱动定义的点的轨迹
0 ≤ t ≤ 1
--------------------------------------------------------------
解读：S是轨迹上一点，对应位置值t，三点0,1，t形成三点的比。
【“这里的位置值可以解读为S点走过的路程占总路程的百分比”。这后半句话是不对的。这是显然的错误，明显和前半句话冲突】
可以参看第9页84楼的图片
--------------------------------------------------------------------------
Point Locus defined by a parameter driver被一个参数驱动定义的点的轨迹
domain of driving parameter驱动参数的范围
-------------------------------------------------------------------------------
解读：S是被一参数驱动的轨迹，S对应一位置值t，t就是驱动轨迹的参数的一个取值，
点的值就是t，且0,1，t 够成三点的比。如果参数方程是x=f(u),y=g(u).
则点S'(f(u),g(u))是曲线上距离S最近的点。
-------------------------------
Function Plot函数图形
domain of independent variable自变量的范围
-------------------------------------------------------------
解读：y=f（x）。S是曲线上一点，对应位置值t，t就是自变量的一个取值。
三点0,1，t形成三点的比。且点S'(t,f(t))是曲线上离S最近的点。

========表格完==============
位置值大多数情况下我喜欢解读为坐标和长度。特别注意上面的解读都假定S在曲线（含直线型）上。
点的值本质还是共线三点的比，点的值是共线三点的比的高级形式。共线三点的比可以完成点的值的全部工作。只是有时用共线三点的比要麻烦一点。但是点的值含义是比较复杂。
特别声明：上面的解读不是我的发明，是帮助文档本身就有这个含义在里面。如果要说我的发明我只是增加了把区间[a,b]和共线三点的比联系了起来，仅此一点。
对比点的比和点的值命令，它门最大的差别在于点的值处理函数图形和参数图形带着最值处理，这很方便，其它的地方和点的比差别不大。如果觉得这个命令复杂根本就可以不学它，直接有点的比来处理问题就可以了，点的比思路比点的值通常要清晰。
这并不影响几何画板的操作。这些只代表个人观点，怎么理解没关系，会用能用就行。
三点的比就是一维坐标系里面的坐标，位置值就是一种特殊的“坐标”。

作者: 29678417 时间: 2012-8-25 19:11

76# myzam

Point Locus defined by a point driver被一个点驱动定义的点的轨迹
0 ≤ t ≤ 1
--------------------------------------------------------------
解读：S是轨迹上一点，对应位置值t，三点0,1，t形成三点的比。
这里的位置值可以解读为S点走过的路程占总路程的百分比。

对这条仍有疑问:S的【位置值】不一定是【S点走过的路程占总路程的百分比】,应当是驱动点的【位置值】，需要进一步或更多步变换为某个点走过的路程。就如前面所举的圆内一段弧轨迹上的点。
理论上只要是一个“值”总可以写成“值/1”的形式，然后用2个点定义的1个单位距离，再用另一个点的位置表示出来，也就是三点的比。

看前面的讨论另外说两句：关于“采样数”。观察到S点经过的样本点的个数和总样本点个数之比和点的值存在对应关系，样本总数的改变由于是同比例变动，此比值不变。所以样本点在图形上的分布的均匀程度直接影响S点经过相同的路程时经过的样本点个数，从而影响“点的值”。总的样本个数对点的值不构成影响，它影响的是显示图形的平滑程度。

作者: myzam 时间: 2012-8-25 23:47

77# 29678417
" 对这条仍有疑问:S的【位置值】不一定是【S点走过的路程占总路程的百分比】,应当是驱动点的【位置值】，需要进一步或更多步变换为某个点走过的路程。就如前面所举的圆内一段弧轨迹上的点。"
------------------------------------------------------------------------------
我的解读有个前提：假设S在曲线上。
是不是“驱动点的位置值”这个好办，这可以清自操作，直接验证。错了改过来就行了。

----------------------
采样率控制图形的平滑度，我同意。但是你的观点是究竟是采样率影响还是不影响点的值呢？

作者: myzam 时间: 2012-8-26 12:30

使用反证法证明：点的值和三点的比与采样率无关
【帮助文档原文】【If point C is constructed on straight object AB, the ratio measurement is the same as the value of point C on its path. In this case it’s easier to select only point C and choose Measure | Value of Point.
如果点C被创建到直对象AB上，比值的度量和点在路径上的值是相同的。
这种情况下，仅选择点C然后再挑选度量菜单下的“点的值”命令来度量就要更容易些。】
--------------------------------------------------------------------------------
原因：
1.采样率这个量是控制电脑显示器和软件运行性能的一个量，而点的值和三点的比是描述数学性质的一个量，它们类别不同，逻辑上应该没关系。
2.用反证法可以证明点的值和三点的比与采样率无关：
有帮助文档可以看到如果对象是直线型时点的值=三点的比，现在就是线段为例。
反证：假设采样率改变时，点c对线段ab的值会发生改变，现在设置采样率为500，度量出点c对ab的值为k1，接着重新设置采样率为1000，再次度量
出点c对ab的值为k2，这时将得到k1=k2，这与假设矛盾。所以采样率改变，点的值不会改变，这说明了采样率是一个与点值和三点的比无关的一个量。下面的例子也是佐证。

附件: 点的值之比刻画了沿x轴的伸缩率.gsp (2012-8-26 13:37, 5.32 KB) / 下载次数 3212
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18525&k=65c4c7e701d870aaf31281fbffddcad0&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: inRm 时间: 2012-8-26 15:43

请解释下图中点A的值的意义：

图片附件: QQ截图20120826154536.gif (2012-8-26 15:43, 5.06 KB) / 下载次数 3147
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18526&k=a256a34d0cf387354eabb54fb86883a8&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-26 18:32

80# inRm

点的值的理解.gsp (5.13 KB)

附件: 点的值的理解.gsp (2012-8-26 18:32, 5.13 KB) / 下载次数 3808
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18529&k=d9822f32aebb48f0fb7d0f34e1cd056c&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: myzam 时间: 2012-8-26 18:38

80# inRm

作者: 29678417 时间: 2012-8-26 19:22

78# myzam

在一段90度弧上取动点A,过A作OB垂线,垂足C的轨迹是线段OB
可以看到OB是不“均匀”的轨迹，在轨迹上取点S.
这样是否符合你说的S在曲线上?
度量S在轨迹OB上的值,可以知道它与S点所对应的驱动点A'在弧BB'上的位置值[即A'在弧BB'上的值]完全相同.
你所谓的S走过的路程和总路程是指什么?其比值与S在轨迹上的值相等吗?
如果你说的“采样率”是指画板中总的采样数量，那么它对点值不构成任何影响，采样数量是20还是200没区别。但是S在轨迹上的值[点的值]和它经过的采样点的个数是成正比的，就如所附图采样数量是20，S经过的路程每增加一个采样点，点的值增加0.05，与走过的路程不成比例，与走过的采样点个数成比例。

图片附件: B.JPG (2012-8-26 19:22, 10.14 KB) / 下载次数 2452
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18530&k=eb67989e39853bd8fb1e5dc524ca7d07&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: myzam 时间: 2012-8-26 19:59

83# 29678417
Point Locus defined by a point driver被一个点驱动定义的点的轨迹
0 ≤ t ≤ 1
--------------------------------------------------------------
解读：S是轨迹上一点，对应位置值t，三点0,1，t形成三点的比。
【“这里的位置值可以解读为S点走过的路程占总路程的百分比”。】这句话是不对的我的疏忽。以改正。
但是这部分：S是轨迹上一点，对应位置值t，三点0,1，t形成三点的比。
是对的。
附：这个图就是解读为什么一个点驱动另一个点的轨迹时，点对轨迹的值的范围是区间[0,1].
我们想想利用几何画板画线，画圆，画轨迹其实后台都有一个坐标系。我不相信几何画板的函数图形，轨迹等等图形不是用解析法产生的，你看不见坐标系不等于它在后台没有坐标系。既然是解析法产生的图形，那么它的一切量肯定和坐标系有关，从而和坐标有关，而坐标都可以用原点，单位，和另一个点这样的共线三点的比来解读。小坐标系的sin前面的系数应为2 /3,打错的。左面的小坐标系其实直接画在轨迹上是最恰当的，之所以画在左面是为了更醒目。
按这个思路，我们想想如果我们用圆规工具画个园，仅管你看不到圆的方程，你完全可以想象假如后台是用的参数方程x=rsin（t），y=rcos(t),点对圆的值意味着什么？
然后在点对函数图形，点对参数的图形，联系在一起看你会发现什么？我不下结论，你自己去下把。
当我们对圆规工具画的圆完成了想象后，就可以说原来：点对圆的值等于弧长之比是特例，等于圆心角的比才更具有普遍性。区间[a,b]和说线段是一回事。一个强调形，一个强调数，体现了数形结合。
这些是我个人观点，仅供参考，不一定对。错了我就改正。就像上面一样。

作者: 29678417 时间: 2012-8-26 21:12

我想画板的线、圆、轨迹都是由一个匀速变动的“自变量”形成的点的集合，图形上每个点都对应一个自变量的值t来表示其位置。0，1，t形成三点的比，其比值显然就是t/1=t，所以把点的位置值t还原成三点的比看不出来有什么特别意义。
另外对在图形外的一点，点的值等于在图形上与它距离最近的点在图形上的值具有特殊意义，我想这是设计者这么定义的，没有深究的必要。所以点的值也不能被三点的比完全取代。
总之点的值就表示它在图形上的一个位置值，我觉得这么理解就够了。

作者: myzam 时间: 2012-8-26 22:05

85# 29678417
我得申明一下把点的比和点的值的帮助文档联系起来看，：点的值=三点的比，是画板的帮助文件里面本来就包含了这个意思在里面，这不是我添加的。
各人有个人的理解，这不影响你和我的作图。还是那句话会用就行，顺手就行，各取所需。

作者: myzam 时间: 2012-8-26 22:19

81# xiaongxp
这个例子真好，说明了三点的比=点值。而且还带有一个相似变换。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-26 22:38

87# myzam
这还得感谢你前面的系列论述，使我理解了点值与仿射变换间的关系，从此我作仿射变换下的IFS就不必再用坐标变换公式来实现了，而用通过直接构造单比（三点比）作仿射对应点的方法来实现，以减少CPU的计算负荷。

作者: myzam 时间: 2012-9-9 11:02

如何在几何画板中制作特殊的数学符号？
大量的数学符号在几何画板的文本框中是无法输入的。如子集的符号。
这时可以利用其它的软件把子集的符号制成图片，mathtype就可以
直接把数学符号转变成gif图片。把制成的子集符号图片拖动到几何画板
，并把图片合并到点,接着创建文本框在文本框中输入A--->点击合并到点的图片---->输入B，这样
就会得到：A包含于B的一个输入。
当然效果不是很美观，但还是可以凑合使用。如果把自己常用的符号图片
做成工具，用起来来还是很方便的。
其次，交，并集，属于，不属于的符号搜狗拼音可以直接输入。
QQ拼音无法对几何画板进行任何输入。

作者: myzam 时间: 2012-9-9 15:30 标题: 旋转的车轮做法

1.准备知识：共线三点比（abc）=ac/ab的含义.
直线为一维放射坐标系，其中a为原点，b为单位点。在这个一维仿射坐标系里点c的坐标就是共线三点abc的比。
2.创建一水平线段ab，在ab上取一定点作为坐标单位点e，设a为原点。这就建立了一维仿射坐标系。
3.在线段ab上任取一动点M。并度量出三点的比（aeM）=aM/ae.
4.把点M向上平移0.5cm得点M'。以M'为圆心，MM'为半径画圆。
5.标记旋转中心M'，把点M旋转弧度数：-（aeM）(如果是角度制旋转量为
（aeM）*180°/π)得点M''.
6.继续以M'为中心,旋转角为60°，旋转M''，反复重复这一过程将得到圆周上的6点。
7.把这6点和圆心连接起来，就得到一个旋转的轮子。
注：弧长=半径*角

作者: myzam 时间: 2012-9-19 22:34

一页共生多坐标系
抛开系统坐标系不用，将导致系统自带的绘制函数图象的命令失效，为了画函数图象就要去从新打造工具，系统自带的绘制函数图象的命令不用怪可惜的。

======================
为了使用系统自带的绘制函数命令，特制作了自定义直角坐标系工具xy-coords(2)
工具位于：http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=2946&extra=page%3D1&page=14
目前流行的直角坐标系工具都是和系统坐标系分裂开的。我做这个工具就是为了把两种坐标系关联起来。

附件: 其实系统坐标系使用起来还是挺方便的.gsp (2012-9-19 22:34, 5.55 KB) / 下载次数 5400
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18629&k=db7913dd1c617ad4d59a7071638a3cb6&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: myzam 时间: 2012-9-23 20:40

如何制作Bezier（贝塞尔）曲线？
1.利用图象菜单建立直角坐标系
2.在平面内任意画出4点1,2,3,4，并度量出它们的横纵坐标x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4.
3.创建2个函数：
f (x)=x1*(1-x)^3+3*x2*x*(1-x)^2+3*x3*x^2*(1-x)+x4*x^3
g(x)=y1*(1-x)^3+3*y2*x*(1-x)^2+3*y3*x^2*(1-x)+y4*x^3
4.选中f(x),g(x),打开图象菜单，点击绘制参数曲线，一条Bezier曲线就产生了。
5.依次选中点1,2,3,4，和曲线，就可以创建Bezier曲线工具。
这样得到的Bezier曲线和专业的绘图软件PhotoShop中的Bezier 曲线是一样的。
类似的可以完成Lagrange（拉格朗日）多项式插值。

作者: myzam 时间: 2012-9-23 21:15

如何动态显示轴对称？
文件
关于多米诺骨牌
-------------------------------------
多米诺骨牌制作教程征解
。。。。。。

作者: myzam 时间: 2012-10-2 09:30

显示整数的所有正约数：http://www.inrm3d.cn/redirect.ph ... o=lastpost#lastpost
制作教程。。。。。

作者: inRm 时间: 2012-10-2 12:30

92# myzam

尺规法似乎更简洁：

图片附件: Bezier曲线.gif (2012-10-2 12:30, 2.67 KB) / 下载次数 5898
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18681&k=abba767a1e7ee1aac7cfd870890f579a&t=1713502759&sid=jcbJE6

附件: Bezier曲线.gsp (2012-10-2 12:30, 5.34 KB) / 下载次数 7062
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18682&k=15fcb3cb338a5a05ea62204ceae2206c&t=1713502759&sid=jcbJE6

作者: myzam 时间: 2012-10-3 09:40

95# inRm
又是一种制作Bezier曲线的方法，好啊。

作者: myzam 时间: 2012-10-5 20:54

何为Julia （茱莉亚）集合？

--------------------
由此可以看到Julia集中的表达式f(z)可以是任意的解析函数，并不是只可以是f(z)=z^2+c
，当是不得不承认通常都取f=z^2+c，Julia集是对解析函数f(z)进行迭代，一类点趋于∞，一类点不趋于∞，这两类点的分界点组成的集合就是Julia集。Julia集合可以不是分形！网络上有太多的关于Julia集合的图像，基本上使大家认为Julia集就肯定是分形。说Julia集合不一定是分形反而会让人吃惊，然事实就是这样。

作者: xiaongxp 时间: 2012-10-6 01:29

不认同“网络上有太多的关于Julia集合的图像，基本上误导大家认为Julia集就肯定是分形”。出现这种错误理解，是个别看官所犯的逻辑错误，不存在误导。事实上，分形的概念是无法定义的，见诸各分形几何教程的对“分形”的概述都只是描述其某些特征，其中一个关键特征的描述是：每一个任意小尺度的片段都带有整体的某种“相似”形态和信息。这一描述看上去哪有一点数学味道，但它却是对分形概念最准确的把握。

作者: myzam 时间: 2012-10-6 08:16

98# xiaongxp
最近我在看一篇文章，我到是接受作者对分形的解说。作者说：许多人多希望给分形一个精确的定义，但是无论什么样的定义都不完美，总会把一些本来是分形的集排除在外。所以作者告诉看官，对待分形应该象对待生命一样，没有人可以给生命下个定义，但人们可以给出生命的一些特征，人们通过这些特征就知道什么是生命。

作者: myzam 时间: 2012-10-6 16:32 标题: Julia集的图形绘制

Julia集的图形绘制通常都是扫描完成的，其实M集和J集的图形不扫描同样可以完成。扫描画图有很多优点，但有一个缺点就是每次打开几何画板都要重新扫描才有图形产生，而且参数对图形的影响观察起来并不方便，那么能不能克服这些缺点呢？我试了试可以办到，把文件放到这里共探讨。
M集定义={c|c值使J集合连通}
J集定义={z|用f(z)=z^2+c进行无穷次迭代，其迭代像保持有界的初值z}
关于J集的定义，这里是指其边界。边界和内部叫“充满的J集”。J集的定义可能约有差别。容易在理论上证明J集是有界闭集，从而是紧的。
J集合连通的定理：J集要保持连通除非z=0的无穷次迭代像有界。就是说如果J集连通，则0∈J
定理：|z|>2的初值进行无穷次迭代后，跌代像必无界。
一个构造Julai集原象的迭代过程：设 f(z)=z^2+c, f 的反函数记成 g（z）=±sqrt(z-c).
D={z| |z|≤2}，f作用在D上的像f(D),要保持k趋于∞时，迭代 f^k(z)有界，只有点f(D)∩D才满足条件。
把集合f(D)∩D放宽到D,计算g(D),约去|g（D）|≥2的点，只关注模不＞2的点。只有这样的点菜有可能落在J
集合中。那么如何计算g(D)呢？从f的反函数的表达式不难看出可以这样计算：这只要把D平移 -c，得区域D1,，再对D1中的点开方就可以了。反复重复这一过程，最后就可以得到JULIA集。
由这个迭代构造可以看到f的反函数有两个连续的分支，显然如果J集不连通它的不连通分支就会成对的出现。假如说这样的连通分支不断的分裂下去，无穷次迭代后，最后的J集就是孤立点组成，这时J集是画不出图像的。如果我们用轨迹法作图就可以亲身感受到连通分支的断裂过程。那种1分裂为2,2分裂为4,4分裂为8的感受很真切。

11页的J SET 的边界曲线就是用反函数的方式构造出来的。

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