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标题: 牛顿分形的“光滑”着色 [打印本页]

作者: changxde 时间: 2012-7-27 11:40 标题: 牛顿分形的“光滑”着色

所谓Newton分形，就是在复平面上给定复函数g(z)，构造Newton迭代公式 f(z)=z-g(z)/g'(z)，对复平面内的每一点z0，用Newton迭代公式 z_(n+1) = f(z_n)进行迭代计算，得一迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），根据这序列的不同表现，选定一个颜色值给z0以标记，在复平面内就形成了一个漂亮的图案就是Newton分形。典型的有 g(z)=z^3-1.

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作者: changxde 时间: 2012-7-27 11:44

对于Newton迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），一般可以很快收敛于g(z)的一个零点，但一般情况下g(z)有多个零点，而且我们不能准确写出g(z)的零点值。为此我们作变换dn=zn-z_(n-1)，构造新序列：d1，d2，d3，……（2），它可以很快收敛于0。可以想象，由于z0在平面内的不同位置，它们分属于g(z)的不同零点的领域，即使在同一零点领域，也有离零点远近之分，为此，再引入一个小正数 ε>0，对于z0，若存在一个正整数 N，当 n>=N 时，||dn||<ε，而 n<N 时，||dn||>ε ，这时对于z0，产生几个可用来给z0标记颜色的特殊值，N，zN，dN。N——逃逸时间，zN——迭代终点——应该很接近零点，dN——最后一次迭代的步长。当然，由于时间和技术问题，我们应该设定一个最大迭代次数 M ，对一般的点z0 的 N < M，可是有一些点z0，迭代 M 次后仍有 ||dM||>ε，这些点就是零点领域边界附近的点，画在图上就是Newton分形的分形链上的点。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-27 20:33

好象N集光滑作色，不是完全抹平等势圈，如果完全抹平后，每块缺乏立体感，成平面状，边界看起来也不太美。
未命名.JPG

这是UF中的效果，各块看起来光滑，仔细一瞧，仍有等势圈，只不过等势圈十分摸糊，晃眼一看，很是光滑。不知能否象圆陷阱那样，使每块成为伪3D.

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作者: changxde 时间: 2012-7-27 21:53

3# 柳烟

是那一个效果，我怎么没找到

作者: changxde 时间: 2012-7-27 21:56

2# changxde

关于迭代序列的收敛问题，要用到数学理论，我已经淡忘了，网友可以补上。

作者: changxde 时间: 2012-7-27 22:13

为了淡化等势线，我们考虑 ||dN||/ε 这个值，它的值域是(0,1]，把它与逃逸时间结合起来，即可淡化等势线。
不过因缺乏迭代序列的收敛理论，||dN||/ε 这个值的变化规律还不太清楚，但可以肯定它不是线性的。望网友们一块探讨。

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作者: 柳烟 时间: 2012-7-27 23:35

4# changxde
在ahm.ucl中，里面只有一个特效文件。打开任一牛集，再点选outside选项卡，找到ahm.ucl中的文件Extrapolated Bailout，打开后，再在面板中选中四个开关项的newton，即得此图形。代码可单独将此开关项抽出来。这个效果我干了几次，整不出这效果，可能我的造法有问题，代码有些地方费解。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-28 07:46

我将那个特效文件，进行大幅度缩水，仅保留newton开关项部分，并动了手脚后，代码及图形效果如下：
VaryingBailout {

final:
complex x = #pixel
If Imag(#pixel)==0
  x=#pixel + 1e-30i
Endif

int iter = 0
repeat

xold=x
x=x -( x^3-1)/(3*x^2)

  iter=iter+1
until (|x-xold|<=@SmallBailout )

  float bailTest=|x-xold|
  Power=2
If iter!=1000
#index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(log(bailTest))))
Else
#index=sqrt(log(log(bailTest)))
Endif
default:
title="Extrapolated Bailout"

float param SmallBailout
  caption="Small Bailout"
  hint="Should be positive. Smaller values mean more time, but more accurate \
  pictures (assuming you increase the iterations)."

  default=0.0001
endparam

}

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作者: 榕坚 时间: 2012-7-28 09:15

只能弄到这个程度，要兼顾到多种颜色的一致性很难：

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作者: 柳烟 时间: 2012-7-28 18:24

我今天试着模糊等势圈，用常老师法，我不得法，结果等势圈越整越浓，用|z-z0|的终象除任意小正数ε(阈值)与et搭配，我是分二个阵营，一是||dM||>ε，二是||dM||<ε分别调色。如何搭配才得当？
我试着翻译8楼光滑N集的代码，结果#index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(log(bailTest))))不好驾驭，弄出无意义。又until (|x-xold|<=@SmallBailout )是啥意思？与后文如何串联？丈二和尚摸不着头脑。再精简代码如下，我在UF中验证了，得到的图形完全一样。个别句子再动手脚。
VaryingBailout {

final:
complex x = #pixel

int iter = 0
repeat

xold=x
x=x -( x^3-1)/(3*x^2)

  iter=iter+1
until (|x-xold|<=@SmallBailout )

  float bailTest=|x-xold|
  Power=2
If iter-#maxiter<0
#index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(abs(log(bailTest)))))
Else
#index=sqrt(log(abs(log(bailTest))) )
Endif
default:
title="Extrapolated Bailout"

float param SmallBailout
  caption="Small Bailout"
  hint="Should be positive. Smaller values mean more time, but more accurate \
  pictures (assuming you increase the iterations)."

  default=0.0001
endparam

}
短短的代码，怎么那么麻烦，怪得出奇。

作者: changxde 时间: 2012-7-28 19:03

淡化等势线的方法如下图：

如果 b 的变换在 ( 0 , 1 ] 上是均匀的，淡化效果最好。
那么如何使上面那个比 ||dN||/ε 在 ( 0 , 1 ] 上变化均匀呢？

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作者: 榕坚 时间: 2012-7-28 21:43

10# 柳烟

麻雀虽小五脏俱全哪，要抹平那等势圈又能体现收敛程度真难。

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作者: changxde 时间: 2012-7-30 18:18

10# 柳烟

这个颜色索引值有点怪，
If iter-#maxiter<0
#index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(abs(log(bailTest)))))
Else
#index=sqrt(log(abs(log(bailTest))) )
Endif
为什么没用 @SmallBailout ？？？
翻译成我们常用的符号是
sqrt((N-et)*ln2+ln|ln|d||)
不过这个值比较大，调整一下
sqrt(((N-et)*ln2+ln|ln|d||)/N)
而这个值又比较集中与某一点，适当调整一下即可。

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作者: 柳烟 时间: 2012-7-30 20:25

13# changxde
漂亮！看了你这帖，我仅保留代码IF至endif中的第一个#index,将判断的其余部分删去，仍不影响效果。上午，我仍失败，看了这帖，很受启发，我再试试看。

作者: 榕坚 时间: 2012-7-30 20:36

13# changxde

repeat

xold=x
x=x -( x^3-1)/(3*x^2)

iter=iter+1
until (|x-xold|<=@SmallBailout )
这是一个直到型的循环语句，|x-xold|<=@SmallBailout 是判断是否继续循环的条件。

作者: 柳烟 时间: 2012-7-30 20:57

15# 榕坚
如果将红色部分去除，在UF中可发现等势圈大显。

作者: 榕坚 时间: 2012-7-30 21:10

又抹平了一些：

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作者: changxde 时间: 2012-7-30 21:12

它是循环终止的条件，不能去掉。
另外在N集主程序中好像没有记录|z-zold|。
疑问是在index中怎么没有SmallBailout的影子，这个值过大或过小都会对着色效果有影响。

作者: 榕坚 时间: 2012-7-30 21:30

好象与颜色有一定关系，还有下载到电脑后打开可能等势圈没那么明显：

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作者: changxde 时间: 2012-7-30 21:49

颜色值过度还是比较平滑的

找了好久找到这个文件，可惜我也看不懂了。

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作者: changxde 时间: 2012-7-31 11:13

学习向老师的多轴对称

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图片附件: N0.JPG (2012-7-31 17:29, 88.59 KB) / 下载次数 2427
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=18164&k=31ae9cf08f009a19331ecd12e9f199c3&t=1716279826&sid=IVAP1i

作者: 柳烟 时间: 2012-7-31 17:53

请教一个问题x-xold|>=@SmallBailout 实际上就是用GSP造牛集时的p，而代码中的：|x-xold| 〈=@SmallBailout ，其实就相当于1-p，要造出牛集，缩放点z-f(z)/f'(z),用的是p,而非1-p，否则造不出链条。决定是否终止循环的应该是p,而非1-p,我没有考虑红色部分，造出的效果如下：

请问红色部分究竟在画板中，如何关联？

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作者: xiaongxp 时间: 2012-7-31 18:38

21# changxde
非常不错的分形花边！第二图是四次方程N集的4折轴变换吗？中间再放一个常规尺寸的M集或J集就完美了。

作者: 榕坚 时间: 2012-7-31 19:53

22# 柳烟

其实关键是它的着色函数，即#index

作者: changxde 时间: 2012-7-31 20:04

22# 柳烟

它就是跳出循环的条件，和通常我们的作法是一致的。

作者: changxde 时间: 2012-7-31 20:07

23# xiaongxp

都是三次N集中的一段。

理论上嵌入一个M或J集是可以的，只是画板能不能承受。

作者: xiaongxp 时间: 2012-7-31 20:49

23# xiaongxp
都是三次N集中的一段。
changxde 发表于 2012-7-31 20:07

三次N集的两项链间成120°，为什么上图是直角呢？常老师用了什么变换？若是多轴对称变换，截取的那段折叠的？要不这个三次N集含有一、二次项，这个90°太难想象了。

作者: changxde 时间: 2012-7-31 21:45

27# xiaongxp

用八对称轴，截一小段即可。

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作者: changxde 时间: 2012-8-1 09:11

不知胡老师是如何淡化等势线的

作者: myzam 时间: 2012-8-1 17:30

21# changxde

向老师的花边做的真不赖。

作者: xiaongxp 时间: 2012-8-1 18:56

30# myzam
不，这是常老师作的，就是给我们带来了等势线作法和浮雕效果的常老师。

作者: changxde 时间: 2012-8-2 13:56

二位老师好，这里的成果都是版友们共同探讨的结果。

作者: changxde 时间: 2012-8-2 13:57

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作者: changxde 时间: 2012-8-2 17:28

M集对称

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作者: 柳烟 时间: 2012-8-2 23:25

按UF的光滑作色法,扫一M集:
未命名.jpg

按#index=sqrt(ln(2)*(n-et) + log(abs(|zn|)))),这里|zn|为模的迭代终值.我弄出后,扫出的M集的肚皮上,发现有部分白色溢出,采取了一些补洞措施,其中:迭代次数为n=100时,我用的是n+2-et,且在根号内加上了一个正整数.不知有无更好办法.这是在前面说的那个光滑代码中,找到的并进行了一些改造,以达填洞的目的.大家看看有无更好办法.

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作者: changxde 时间: 2012-8-2 23:33

UF中M,J 集有代码
init:
  complex il = 1/log(@power) ; Inverse log (power).
  float lp = log(log(@bailout)) ; log(log bailout).

final:
  #index = 0.05 * real(#numiter + il*lp - il*log(log(cabs(#z))))

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