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标题: 求作等边三角形内一点到各顶点距离之比为3:4:5 [打印本页]

作者: qzws100 时间: 2013-5-25 09:14 标题: 求作等边三角形内一点到各顶点距离之比为3:4:5

这道中考题不难，已解决.我想通过画板把这个点O作出来，因此请教各位老师有什么好的方法；进而能推广到其它比值也可作出.

图片附件: 求作等边三角形内一点.png (2013-5-25 09:14, 21.23 KB) / 下载次数 1941
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=19999&k=6f82ce7de5b0e48a12c33449f6a612c0&t=1716063447&sid=452M72

作者: yimin0519 时间: 2013-5-25 12:58

阿氏圆可以解决。
有时间的话就上附件。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 13:05

2# yimin0519
yimin0519板友果然棋高一着，一语点醒梦中人。我看到这一问题，想了半天，没一点路子。好象这阿氏圆以前在这个坛子帖子中讨论并作过这种轨迹，不知那帖子在何处。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 13:25

找了半天，在这帖中如何根据阿波罗尼斯圆的定义,用轨迹的功能来做此图形

作者: yimin0519 时间: 2013-5-25 14:16

3:4:5

3b4b5.gsp (4.76 KB)

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20000&k=e28f1836c1fdbfadc02f519db6bab9db&t=1716063447&sid=452M72

作者: qzws100 时间: 2013-5-25 17:33

非常感谢两位老师的提示!!这几天一直在忙中考复习，中考结束后一定得好好研究研究.

作者: myzam 时间: 2013-5-25 19:15

1# qzws100
做法大意：直接做轨迹的交点就可以了。
这个点到三顶点的距离是3tcm，4tcm，5tcm，用参数t去控制轨迹就可以了。
最后变通一下，用等边三角形一边上的三点比生成参数t，把t运算成t*1cm。。。。
几何画板的实验性很强，不用管它啊不啊，只要一画就可以看出是园。

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20003&k=795c4f05c401963744a80742a2eacba2&t=1716063447&sid=452M72

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 20:07

制作一个阿氏圆工具

阿氏圆工具.gsp (9.37 KB)

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20004&k=242a711f0f8e570494b81f946ed5a6f2&t=1716063447&sid=452M72

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 20:23

说明当三参数有两个相等时，这时比值为1B1，此时阿氏圆退化成一直线，用此工具作不出，要用其它作法，特此声明。

图片附件: 111.gif (2013-5-25 20:23, 112.29 KB) / 下载次数 2061
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20005&k=df7cf9dd437a9163709a1f8919dcb198&t=1716063447&sid=452M72

作者: xiaongxp 时间: 2013-5-25 20:37

简而言之，先以±3:4为定比作线段AB的内外两分点，以两分点为直径端点作圆1；再以±4:5为定比作线段BC的内外两分点，以这两分点为直径端点作圆2；最后作两圆在正三角形内的交点O，则O为所求作。
此法可用于任意三角形和比例p:q:r，其中p、q、r不全相等。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 20:54

7# myzam
不失为一种方法，学习。但是用轨迹相交法，有时要出问题，因为轨迹，与采样大小有关，对有些作图题，会作出让人奇怪的图形来，以前研究斯坦纳圆链，遇到过，所以我后面作图时，尽量避开轨迹。个人浅见，大家交流并互相提高。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 20:55

5# yimin0519
作法很妙，学习并致谢。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 20:57

10# xiaongxp
高见，对问题的思考更深入，并让人受启迪。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 21:32

10# xiaongxp
我试了试，当三参数有二个相等时，内外分点重合，作两圆相交找O不成。如果两两不等，则用此法作阿氏圆，倒省了不少事。
用向老师的方法，将阿氏圆工具进行重新制作，改进了不少。

阿氏圆工具（改进）.gsp (4.91 KB)

附件: 阿氏圆工具（改进）.gsp (2013-5-25 21:39, 4.91 KB) / 下载次数 2727
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20009&k=8db2d2a527fd98fefca19efafcd8f36a&t=1716063447&sid=452M72

作者: myzam 时间: 2013-5-25 21:36

轨迹为园的证明：
设园A,园B的半径之比为常量，则这两园的交点的轨迹为园，并且直径的端点将被
半径之比所决定。假设园A，园B的半径分别是m|t|，n|t|（n，m大于0），这里的轨迹
指的是对于参数t的改变，B点的轨迹：

这说明角oBA的平分线是FB.其外角平分线是EB.显然n=m时轨迹是直线。
阅读百度百科：
---------阿波罗尼圆Apollonius，

---------卡西尼卵线 Cassini，

--------

作者: xiaongxp 时间: 2013-5-25 21:43

14# 柳烟
此时别用±1，因为定比-1无意义，把绝对值非1的比用两次。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 21:48

16# xiaongxp
如果三参数是任意可改变的，原来比不是1的，可能变为1，则又出问题了。
当三参数两两不等时，用此法改进后的工具作点O，文件倒是目前来说，最小的。

再解决问题.gsp (4.66 KB)

附件: 再解决问题.gsp (2013-5-25 21:50, 4.66 KB) / 下载次数 2615
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20010&k=08bf23d71e304c97a329a6c66d1dacb8&t=1716063447&sid=452M72

作者: myzam 时间: 2013-5-25 21:49

9# 柳烟
可以用分段函数修改一下，就可以包含退化的情况。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 21:58

15# myzam
按老兄所讲，好象半径之比为定值的两个圆的圆心应固定，不然要出问题。按你引用的证明来看，两圆圆心是固定的，否则轨迹就复杂了。其实就是阿氏圆。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 22:02

我提一个问题，如果在等边三角形内找一点，使到三边的距离之比为3B4B5?

作者: myzam 时间: 2013-5-25 22:05

19# 柳烟
对的，如果你改变参数t圆心是不动的。对参数t的变动，得到的轨迹才是园。所以，这道题的作图本质是构建参数t对交点的轨迹。只要改变n，m，a轨迹的圆心才会动。

作者: 柳烟 时间: 2013-5-25 22:22

20#提的问题，我作了一下，很是简单：

未命名1.gsp (2.93 KB)

附件: 未命名1.gsp (2013-5-25 22:22, 2.93 KB) / 下载次数 2620
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20011&k=1c603dfa11d1f4bf05b92ac78fb1492f&t=1716063447&sid=452M72

作者: 29678417 时间: 2013-5-25 22:44

要适用两参数相等情形么,我想先作个是否相等的判断然后统一起来应该可以,就是麻烦一点

作者: sf15030389792 时间: 2013-8-27 15:26

高手，简单是数学的灵魂

作者: wenjianll 时间: 2013-9-11 21:44

未命名1.gsp (4.97 KB)

附件: 未命名1.gsp (2013-9-11 21:44, 4.97 KB) / 下载次数 2100
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20465&k=fb1c038e8f2e51e0aa9c2791ddc1301d&t=1716063447&sid=452M72

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