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标题: 问题征解—三角形内切椭圆 [打印本页]

作者: changxde 时间: 2013-7-13 21:13 标题: 问题征解—三角形内切椭圆

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作者: yimin0519 时间: 2013-7-14 00:07

这个问题有趣。

F、F'应当关于△ABC等角共轭。

作者: changxde 时间: 2013-7-14 19:50

2# yimin0519
也是内切椭圆的焦点，只是变数太多，不好计算，不知yimin0519老师能否用Maple计算出来。

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作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 12:30

第一次我是用了下图这个状态，纯文字运算，maple几乎当机。

第二次量化了再用maple计算，结果为两元六次方程方程组（有9组实根）。

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作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 12:50

2# yimin0519
也是内切椭圆的焦点，只是变数太多，不好计算，不知yimin0519老师能否用Maple计算出来。
20335
changxde 发表于 2013-7-14 19:50

还没找到表达式解。

如果你有具体的量化值，我到是可以找出足够精度点的位置。

作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 12:55

试了几个“样品”，利用垂心的特点，应当可以在既定的三角形的外接圆上找到一个不动点。

作者: changxde 时间: 2013-7-15 12:56

由其几何意义，直觉判断它至多只有两个解，且他们是对偶的。

作者: changxde 时间: 2013-7-15 13:09

想弄一个二次曲线的工具，就遇到了这个问题。
他有八个自由变量，代数方法肯定复杂，不过应该能办到。

作者: changxde 时间: 2013-7-15 13:17

yimin0519老师，在Maple中如何把一个复杂的表达式中的部分片段替换成一个字符，
如

改写成

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作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 13:24

yimin0519老师，在Maple中如何把一个复杂的表达式中的部分片段替换成一个字符，
如20338改写成20339
changxde 发表于 2013-7-15 13:17

algsubs函数可以办到。
单个替换用subs、eval
复杂的表达式最好还用上isolate。

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作者: changxde 时间: 2013-7-15 13:35

就是这个命令algsubs(,)了

作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 13:37

由其几何意义，直觉判断它至多只有两个解，且他们是对偶的。
changxde 发表于 2013-7-15 12:56

9组实根我也没检测到底有几组是合乎要求的解。

作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 13:40

如果能搞定下图中的点D、E与P关系就好了。当然，直接搞定下图中O'与D、E的关系更利于作图。

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作者: yimin0519 时间: 2013-7-15 13:48

这几天单位里有个大的工程方案要写，暂时还没时间来研究这个问题，星期四以后再来探讨这个问题。

作者: 分形几何 时间: 2013-8-3 10:59

我作的结果只有一解:[attach]20397[/attach]

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20396&k=ee9f012687653b76bb3957ea8686ef81&t=1714363612&sid=74p31N

作者: yimin0519 时间: 2013-8-3 14:26

我作的结果只有一解:20397
分形几何发表于 2013-8-3 10:59

大手笔！

两共轭点的中点（x0，y0）求法实在是妙。

有时间再探究与学习。

作者: changxde 时间: 2013-8-3 15:45

15# 分形几何

F1和F2都是符合要求的。

作者: changxde 时间: 2013-8-3 16:39

切点一定的三角形内切椭圆的变换作法.gsp (21.96 KB)

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作者: yimin0519 时间: 2013-8-11 03:19

终于在changxde老师的基础上全部用尺规作图的方法搞定本帖了：

切于三定点之三角形内接椭圆的焦点求法-尺规作图.gsp (67.33 KB)

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作者: changxde 时间: 2013-8-11 11:54

谢谢 19# yimin0519 老师
轨迹是椭圆的问题解决了，当有切点移动到三角形的边的延长线时，轨迹线是双曲线或抛物线，这时焦点又如何得到呢？

作者: zwh2010 时间: 2013-8-11 20:17

双曲线时，原方法应该还适用的；抛物线的话只需一个切点即可，过一会我画一个抛物线的。

已知三切线和一切线上的切点作抛物线.gsp (4.31 KB)

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作者: zwh2010 时间: 2013-8-11 21:21

再写一个有心二次曲线的尺规法

已知三切线及两切点作内切二次曲线.gsp (8.06 KB)

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作者: changxde 时间: 2013-8-11 22:05

谢过 22# zwh2010 老师
太强悍了，我思考了很久的问题终于解决了。

作者: yimin0519 时间: 2013-8-12 00:39

再写一个有心二次曲线的尺规法
20417
zwh2010 发表于 2013-8-11 21:21

智慧啊，大一统。

作者: 分形几何 时间: 2013-8-14 10:34

这种情况是画板的问题还是作法的问题：

问题.gsp (15.22 KB)

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作者: yimin0519 时间: 2013-8-14 12:36

楼上考虑的问题是三切点之一、或二趋近与三角形内切圆的切点时，二次曲线焦点求做方法是否通用的问题。

作者: zwh2010 时间: 2013-8-14 15:03

25# 分形几何
计算公式没问题，当M为内心或旁心时，判别式=0，原作图就产生了问题，事实上判别式的值接近0时原作图都会出现问题。

作者: changxde 时间: 2013-8-15 10:40

几何作图中出现极端情况就可能会出问题

作者: yimin0519 时间: 2013-8-15 14:14

给大家一篇参考文章（英文pdf文档）：

三角形内切椭圆的构造.rar (61.65 KB)

附件: 三角形内切椭圆的构造.rar (2013-8-15 14:14, 61.65 KB) / 下载次数 3293
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=20421&k=0542223f1bbc64d9ad07bd9b59af08ec&t=1714363612&sid=74p31N

作者: changxde 时间: 2013-8-15 21:37

丘成桐中学数学奖
三角形内切椭圆及其性质的研究
http://www.docin.com/p-106644576.html

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