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标题: 两曲线的交点及阿波洛尼斯相切等问题 [打印本页]

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 21:20 标题: 两曲线的交点及阿波洛尼斯相切等问题

两曲线的交点问题：如图，已知平面内三个定圆，
求第四个圆，使第四个圆与这三个已知圆都相切

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2569&k=37976fe3521e55cfef7a7566654cfb50&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 21:44

我第一次听到根轴这个概念，请详细说说根轴的概念，怎么用画板作两圆的根轴？

作者: zxb 时间: 2010-2-2 21:51

根轴就是等幂轴呀，http://www.inrm3d.cn/viewthread.php?tid=662&extra=page%3D1

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 22:10

我刚才才看了根轴的那个文档，那里说的是到两点的距离的平方差为常数，而这里作图要求的是到两点的距离差为常数，用两条根轴的交点如何确定第四圆的圆心呢？可能是我对根轴的理解错了？能用画板作出来让我学习一下吗？

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 22:16

谢谢我看明白了！但我还是无法作出符合要求的第四个圆来！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 22:25

用等幂轴可以作出与三个圆都正交的第四个圆，但作不出与三个圆都相切的第四个圆来。？？？？！！！！！！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-2 23:36

我之所以把这个问题定为两曲线的交点问题，是因为确定第四个圆的圆心实质是求两条双曲线的交点。而这里的两条双曲线都是任意的，不一定都可以化为标准方程，求其交点问题相当于一个一般的求二元二次方程组的解的问题，这个问题还没有一个标准的解法可以利用。尽管可以用转轴公式将其中两个双曲线的方程化为实轴或虚轴与坐标轴平行的方程，但不可能将三个双曲线的方程同时化为这种简单方程，求其交点不是容易解决的问题，不知能否用一种几何的作法化简复杂的求曲线交点的问题？板友们有时间了可以思考一下！

作者: 榕坚 时间: 2010-2-3 08:23

我之所以把这个问题定为两曲线的交点问题，是因为确定第四个圆的圆心实质是求两条双曲线的交点。而这里的两条双曲线都是任意的，不一定都可以化为标准方程，求其交点问题相当于一个一般的求二元二次方程组的解的问题 ...
分形几何发表于 2010-2-2 23:36

用inRm3D可以求任意曲线的交点，即使是轨迹线的交点。有空做一下。几何画板也真是的，都能做出手绘曲线的函数解析式，为什么不生成轨迹的解析式呢？如果有这个功能求交点就没有问题了。用inRm3D试做一个不理想的半成品：http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... age%3D1&page=37

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 12:10

此题为《续几何学辞典》问题1396：Gergonne方法。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 12:15

《几何学辞典》问题2001：作所设三圆的两等分圆

附件: 作一圆两等分三圆周.gsp (2010-2-3 12:15, 10.9 KB) / 下载次数 3879
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2581&k=3c7cdbd382f15c0e2b79b6dc2dc147cb&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 14:37

12# xiaongxp
对不起，作图中我将直交圆作错，更改后再传

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 18:31

这个问题起源于圆形填充，在作分形填充时，我遇到一个分形图形，那还是在CGPAD上看到张友邦的一篇博客文章，曾尝试用画板实现，但苦于计算方法。后来就在这里提出这个问题，庄老师用反演圆的方法实现了这个分形的绘制，但文件太大了，尽管如此，从中我们也可以学到不少数学知识和方法，非常感谢庄老师！后来我就想到如果能实现对任意三定圆相切的第四圆的确定，就可以大大简化那个分形的绘制过程，并且可以作也动态的圆形填充，那种动画效果将会非常漂亮，如果再把那些圆形着以漂亮的色彩，那种动画非常美！这样就引出了数学上的一个老话题，方程及方程组的解的确定问题。这里有两个层面的：一个是数学的方法，一个是实现的技术。现在的应用软件五花八门，各有所长，究竟用哪一种方法，哪一种思路，哪一种软件会更好呢？我们论坛上的人精通不同的软件，也有编程的，通力合作，我想这个问题，也许会被攻克，那将会开创一个新的纪元，因为在解决这个问题的过程中，需要的不仅仅是对软件的理解与应用还有数学知识的扩展！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 20:08

一圆切三圆成了。耗了我一天一夜，现在真成了，哈……真开心！

附件: 作一圆与不全相等三圆相切.gsp (2010-2-3 20:09, 22.4 KB) / 下载次数 3177
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作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 20:56

16# xiaongxp
怎么会出现这种现象：

图片附件: Snap1.GIF (2010-9-15 15:41, 18.8 KB) / 下载次数 2238
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2588&k=f34661304ae4ee7e444de19833b877d2&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 21:03

三色切点共六点，重新分成两组，每组（各三色）确定一公切圆。
一圆切三圆问题共有八解。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 21:33

我们的目标是对任意三个定圆作出其公切圆。上面的作法还是局部解决了这个问题，但离完全解决还有一段距离啊！向兄再加把劲。休息一下，再继续！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 22:00

此做法理论上是完备的，关键是要改良两个工具：一个是解决等圆的相似中心是无穷远点的替代作法，以突破半径不等的限制；二是作根轴的先大后小的限制。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 22:15

这种缺陷与gsp5中的两圆的公切线的工具一样，算法有待于改进。我试验了几次，这种作法应该说很有希望！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 22:19

两圆的相似外心是什么定义？能否详细说明一下？其作用是什么？

作者: 津华园 时间: 2010-2-3 23:06

两个曲线的交点咋还不能做出来呢？一大缺憾啊！~

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 23:14

与半径无关的两圆的根轴的作法：这种作法的缺陷是两圆心的横坐标不能相等，两圆心的纵坐标也不能相等。比原来的根轴的作法的条件弱了许多。

根轴.gsp (3.22 KB)

附件: 根轴.gsp (2010-2-3 23:14, 3.22 KB) / 下载次数 4405
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作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 23:15

根轴工具已突破“先大后小”限制，但三圆中还是不能有等圆。
过两圆同向半径外端点的直线与连心线的交点为定点，此即为两圆的相似外心。

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2590&k=916acaf9086f76437d65dce4cac8eb9e&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-3 23:21

两个曲线的交点咋还不能做出来呢？一大缺憾啊！~
津华园发表于 2010-2-3 23:06

你指的是……？

作者: 分形几何 时间: 2010-2-3 23:30

文件《作一圆与全不相等的三圆相切》中的问题不仅仅是与半径等与不等有关还与三圆的位置有关，即便是三圆的半径互不相等，也不一定会有符合条件的圆。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 00:00

当三圆根心在大圆内部、且以根心和大圆圆心连线为直径的圆在大圆内部时，无直交圆，此时此法无解。但是否此时问题就无解呢？不知也。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 09:17

根轴工具的最简作法：

根轴的几何作法.gsp (2.12 KB)

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http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2592&k=d6b500dffc061df1a44a19e1caf209a2&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 10:07

当三圆根心在大圆内部、且以根心和大圆圆心连线为直径的圆在大圆内部时，无直交圆，此时此法无解。但是否此时问题就无解呢？不知也。
xiaongxp 发表于 2010-2-4 00:00

请向兄有时间把你的作法分步作出来，我看看到底问题出在什么地方。我看了一下，第一步是作出三个定圆的相似外心，第二步是什么目标呢？一步一步你的作法的目标说出来，至于怎么作，实现目标的方法可能改进！

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 10:33

命题：任何三圆的相似外心都共线。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 10:36

31# 分形几何
命题：当且仅当三圆圆心共线时，其相似内心共线。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 12:27

胡兄，今天交卷了，看来我只能解决三圆不全等的情况，不能得到任意三圆的统一解法。三圆全等可以换一个思路单独求解，应该好解决的。

附件: 作一圆与不全相等三圆相切[教程].gsp (2010-2-4 12:27, 51.27 KB) / 下载次数 3210
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作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 12:33

辛苦了，向兄！

作者: 津华园 时间: 2010-2-4 12:48

你指的是……？
xiaongxp 发表于 2010-2-3 23:21

我指的是两个双曲线的交点做不出来啊！要是能做出交点，三圆共切的圆就easy了。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 13:26

津华园老师，我的做法有意回避了解析法，借助双曲线的请看榕坚老师的问题53：http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... age%3D1&page=37

作者: mjj_ljh 时间: 2010-2-4 16:05

胡兄，今天交卷了，看来我只能解决三圆不全等的情况，不能得到任意三圆的统一解法。三圆全等可以换一个思路单独求解，应该好解决的。
xiaongxp 发表于 2010-2-4 12:27

向兄看你这样投入，给你一个资料吧！真不忍心再看你这样辛苦了

，胡兄你就别难为向兄了

，李超已在05年夏天研究了这个问题。不知对你们是否有用。

附件: Apollonius问题.gsp (2010-2-4 16:05, 11.16 KB) / 下载次数 2834
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2597&k=18f00abdbb544d8c4d943d419bb96e93&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 16:53

如果向兄也这么想，我真的很不好意思了！我没有想难为向兄，只是觉得向兄对这方面的知识比我知道得多一些，也是看看能不能通过合作解决这个问题。我对几何知识知道甚少，从向兄那里我学到不少，倒是你啊，为什么不早点把这个说一下呢？站在旁边看着我们这样累啊！你也忍心啊！哈哈，不过累一点儿，对知识的理解可能更深一些！谢谢了！这个文件很不错，从更宽的范围解决了这个问题，但也还没有完全解决这个问题。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 19:32

感谢老梅给的我这一精品，我收藏了。
我没有感到辛苦而是欣慰，因为我用完全自创的工具，在一步一步地逼近问题的终极目标。也不存在胡兄相逼，我们共同享受了探索的乐趣。
一线光纤，一个论坛，为我们架起了一个科研的殿堂。虽然我们身处天南地北，彼此从未谋面，也没能阻碍我们的合作。作为中学数学教师，我们重来都是为了学生的成长而活着，把学生教聪明了，却把自己越教越笨。本论坛为我们提供了练脑的讲堂，是我们保持数学专业能力的好地方。大家把自己略知一二的东西都拿出来一起来研究吧！
感谢方老师为我们的付出！

作者: mjj_ljh 时间: 2010-2-4 19:43

向兄好人啊！向兄好老师啊！你的学生有你这样的老师真幸运。

作者: 津华园 时间: 2010-2-4 21:13

现在学校追求的形式主义，真正做学问的老师越来越少了，只是疲于学校的各种没用的东西，难得向老师这样的好老师，向你致敬！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 21:39

41# 津华园
过奖了。“数学好玩儿”，完全是玩出来的感受，谢谢鼓励。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-4 21:48

29# 分形几何
真是最简单的作法，巧在半径为1000AB的圆等两圆的应用。但作为工具半径设为AB为好，以减小运算次数。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-4 23:44

主要是考虑到缩放有时候可能会改变大小，放大到1000倍，一般不会超过这个范围了。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 00:38

45# zd0076
用双曲线来研究，更符合xuefeiyang的初衷，收藏了，谢谢。

作者: zxb 时间: 2010-2-5 10:52

2612

2611(用了作轨迹交点工具）
zd0076 发表于 2010-2-5 00:23

与两圆内切，另一圆外切呢？

作者: 榕坚 时间: 2010-2-5 11:35

2612

2611(用了作轨迹交点工具）
zd0076 发表于 2010-2-5 00:23

还是有问题的：

图片附件: 捕获1.PNG (2010-2-5 11:35, 58.31 KB) / 下载次数 2227
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2621&k=3c30d3f1ddbb7667e8413e90fe5f8710&t=1714386782&sid=cdCmg8

附件: 和三个圆相切的圆.gsp (2010-2-5 11:35, 30.7 KB) / 下载次数 2833
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2622&k=bccb1c4061c750be730d4a07be2e68c9&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 13:32

48# 榕坚
这种作法存在圆心的选择，和我的作法存在三点选择一样，要“电脑+人脑”，才能相互补益。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-5 13:40

我觉得问题应该出在双曲线上，这里不能是双曲线，只能是双曲线的一支，但双曲线的两支到底取哪一支，应该用符号函数进行选择。大家可以试试看看能不能解决。

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-5 14:54

这个思路不错！

作者: dianlinchen 时间: 2010-2-22 09:15

1# 分形几何
这个问题就是著名的阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius ，在100个初等难题中列为第32题。
这个问题可以用尺规作图完成，不必牵涉曲线交点问题（任意两条圆锥曲线交点已经是尺规作图不能问题）。一般情形下，最多可以有8个解（与各个圆切法各不不同），参见附件，其中有作图工具。
在圆的扩张意义（点和直线作为特殊的圆）的情况下，本题有十种可能的解答。

附件: a3c.rar (2010-2-22 09:15, 41.38 KB) / 下载次数 2763
http://www.inrm3d.cn/attachment.php?aid=2801&k=06316ae44d5adb54ce5905e90f6ba858&t=1714386782&sid=cdCmg8

作者: 周传高 时间: 2010-2-22 09:32

这个问题越讨论意义越大！加精！

作者: xiaongxp 时间: 2010-2-22 09:45

这种作法我在台湾楊澤璿个人网站《几何学习天地》上见过，但不懂作法，愿闻其详，请指教。

作者: dianlinchen 时间: 2010-2-22 09:54

55# xiaongxp
这里使用的是约尔刚(Gergonne)解法，得到的圆成对，同—对的圆与已知圆的切法不同。
作法：定出已知圆的六个位似中心；每三个在一条直线上，共有四条直线。定出其中任—条直线关于三个已知圆的极点；将这些极点与三个圆的根心连接起来。如果这些直线与相应的圆相交，这三对交点就是两个所求圆的切点。
证明比较烦琐，略。

作者: 榕坚 时间: 2010-2-22 10:00

还是反演法。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-22 12:00

55# xiaongxp

你的作法正确，只是不完整，另外你的工具可能有点儿问题，我想你的位似中心是不是做得不够完善？另外还有一点，就是你要对三条直线分别作其极点与根心的直线进而找到六点，这六个是切点，然后是合理分组，这一点你说到过。按照你原来的作法再稍加完善，肯定能做出来。

作者: 分形几何 时间: 2010-2-22 12:08

53# dianlinchen
这个作法文件太大了，阿波洛尼圆，画板文件最小可以作到15k左右。而这个文件的单文件也54.7k.你可以将这个文件优化一下。

作者: dianlinchen 时间: 2010-2-23 08:00

57# 榕坚
涉及到反演变换又如何？

反演变换虽然是利用代数定义的，但完全可以使用尺规作图来实现。也就是说，反演变换也可以使用纯几何定义。你也可以仅仅把反演变换作为一个概念或者一些尺规作图步骤集合来使用。

反演变换的尺规作图：通过点P作它关于反演圆的极线的垂线，垂足即为点P的反演点。

点P关于圆c的极线p的尺规作图：经过点P作反演圆的任意两条割线L1、L2，它们与反演圆的四个交点分别为A1、B1、A2、B2，则直线A1A2、B1B2的交点与A1B2、A2B1的交点的连线即为点P关于圆c的极线p。

而任意两条圆锥曲线交点已经是尺规作图不能问题（因为这个作图可以导致三等分角的解决）。所以这个思路并不理想。

作者: dianlinchen 时间: 2010-2-23 08:08

59# 分形几何
这个作图当然可以优化。不过我和老封的作图工具都是以方便使用为目标，这样非常有利于深入思考几何问题的本质而不必纠缠与细枝末节的作图步骤。例如求作两个圆的根轴，我们的工具是直接选取两个圆，而不需要分别点选圆心、圆上的点、第二个圆心、圆上的点。

论坛上讨论的简化作图工具问题也正是出于这个原因。不过完全简化工具需要大量的时间，恐怕一时还难以完成。

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