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练习18. 免工具M集的作法与缩放框架的应用
借助于“画板分形常用工具箱”,我们练习了作复分形的基本方法。但是,画板复分形的数学原理却深深隐藏在这些工具里,要真正享受到其中的数学乐趣和艺术魅力,还得要免工具一步一步实践画板复分形的制作过程。下面以经典Mandelbrot集的局部放大分形图的制作为例,介绍复分形的免工具作法。
一、计算迭代格式
1. 打开“复分形扫描框架【缩放预览取景】”(可以说,此扫描框架的发明,是xuefeiyang老师对画板复分形的里程碑性的贡献,感谢他的无私分享),先另存为“局部放大M集”,
2. 从“数据”菜单计算:x=xz^2-yz^2+xc,y=2*xz*yz+xc;
二、构建迭代象,求逃逸临界点模em和逃逸时间et
1. 计算逃逸时间示性数p:当点z=x+yi 的模|z|≦r时,p=1,否则p=0,即p=0.5(1-sgn(0.5+sgn(sqrt(x^2+y^2)-r)));
2. 作点z的p变换点Z:当p=1时z向前迭代一次,当p=0时z停止与当前位置,即Z= xz *(1-p)+x*p+i*[ yz *(1-p)+y*p],绘制点Z;
3. 计算p0+eTstep*p,度量T0的横标,绘制点T(x T0,p0+eTstep*p);
4. 作深度为n-1的迭代:z→Z,p0→p0+p;
5. 改n=5,将x轴上单位点、点z的位置作适当调节,求Z和T的迭代象的终点,分别记为eM和eT,
6. 度量eM与坐标原点的坐标距离记为em,度量eT的纵坐标yeT,计算yeT* eTstep^-1记为et;
三、着色与放大、定位
1. 计算灰度参数s=ln(0.5*et)-8*log(0.1+ln(1+em))(注:根据画面着色情况,要作适当编辑);
2. 以s为参数对点c进行灰度着色,并变换到扫描线上,设采样数为“离散的”、点形为“最小”,
3. 将点z合并到原点,改n=500~1000,r=2.8后保存。往下可自行用预览取景框定位放大,直到得到你所满意的分形图,再保存。
四、“复分形扫描框架【缩放预览取景】”的功能说明
“初始化”——使坐标原点、预览取景框置于扫描框架中央,坐标系单位长度还原成1厘米;
“预览取景框”——用于定位、取景和预览。其“+”字交叉点为定位中心,每一次缩放的倍率,是通过“预览取景框”或扫描框的大小调节自动确定的;预览功能的使用,要先将颜色变换映射到其小扫描线上,采样数以两位数为宜,再作其函数簇,采样数仍以两位数为宜,其图形画面粗糙但可预览缩放后的大概结构。在使用预览取景框时,先粗扫一遍,再用预览取景框将要放大的部分框住,按“缩放定位”一次后,再按“横向扫描”或“纵向扫描”,则扫描出来的图形的尺寸与原图形尺寸倍率可从表格“缩放比”查得;往下每一次缩放定位前,都应双击一下表格,以记录下一次缩放比,最终计算出所有缩放比的积,这就是所得图形的尺寸相对于1 厘米一个单位的图形的缩放倍率。
下图定位中心为c=-0.76758+0.10557i:
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