柳烟

三圆的公共相切圆的反演作法：
1、将如图所示的三个圆的半径扩大，使圆O1与圆O2相切于T；
2、以T为圆心作基圆T与扩大的圆O1与扩大的圆O2的相交；（扩大的相切两圆经过了反演中心T，则其反形是两条垂直于O1O2的平行直线）
3、作三扩大后的三虚线圆关于其基圆T的反形，两条平行直线与圆M，如图所示。
4、作与两平行直线与圆M同时相切的圆N（与三个反形同时相切的圆N）
5、作圆N关于圆T的反形，则得与三放大的圆O1、O2、O3都相切的圆Q；
6、将圆Q的半径缩小，缩小的量值与前面圆O1的半径扩大的量值相等，则得与圆O1、圆O2、圆O3同时内切（或外切）的圆。（有时作出来是与三圆同时内切，有时作出来是同时外切）

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2011-3-10 09:43

柳烟

上楼用了反演变换，因为反演变换能够用尺规完成，所以以上作法是正宗的尺规作法。

柳烟

42# 榕坚
抬举了，越学，越觉得浅薄。我们大家都很执著，精神互相影响。

柳烟

J·D·Gergonne的一般性作法：
作法机理在2楼changxde老师提供的资料里，文献中讲的详细。
用此法作图前，先按资料中的分析机理，准备好：位似外心，位似内心，极线，极点，极轴（等幂轴）工具。
作法步骤：
1、作三个圆O1、O2、O3的等幂心S；
2、作这三个圆的外相似轴XY（即由三圆中的两两圆的位似外心共线的那直线）；
3、分别作出XY对于圆O1、圆O2、圆O3的极点P、Q、R；连结SP、SQ、SR并延长，与圆O1、圆O2、圆O3分别交于A、A‘、B、B’、C、C‘
4、分别过点A、B、C与A’、B‘、C’作圆O与圆O‘，则圆O与圆O’即为所求。

柳烟

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2011-3-10 19:31

柳烟

上楼的作法具有一般性，无论三圆位置如何拖动，大小如何变化，都能保证两圆同时与已知三圆同时相切，妙哉。附上源文件，里面有作公切圆时的各工具，这些工具都能利用尺规法造作出来，故上面作图仍是正品的尺规作图。
J.D.Gergonne的作法.gsp (46.91 KB)

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2011-3-10 19:41

柳烟

49# 榕坚
说得对，是有这个问题，也可能是工具的问题，我发觉，工具有时很难兼顾。当这三个圆心共线时，两两的根轴（互相平行）的交点在无穷远处，故而且根心S画不出。如果在画板上就这种特例，作出相切的圆，则可弥补的一问题。我想是这样。谢过榕坚兄指出这毛病，除了你说的这情况外，其余情况好象没有问题。看来该数学家的作法不适合三圆心共线这种情况。
我空了再看看这三圆心共线时，如何作其公切圆

柳烟

又：阿波罗尼斯问题如果讲解的个数，则情况复杂，如果说三圆相切于同一个点，则与这三圆同时相切的圆有无数个，我们不可能用画板将这无数个圆作出。

柳烟

2楼文献中涉及到的知识，可参阅53楼提到的《初等数学复习及研究（平面几何）》一书。该书颇有价值。

柳烟

已知圆O1、圆O2，点P，求作与圆O1、圆O2相切且过P的圆。（点圆圆）
用反演变换作：

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2011-3-12 07:33

假如圆O已经作出，以点P为反演中心，构建基圆圆P，则圆O1、圆O2的反形仍是圆，假如反形分别对应为圆O'与圆O'',由于圆O过反演中心，按定理知过反演中心的反形为一直线，则圆O的反形为圆O、圆O''的公切线，如图所示。

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2011-3-16 08:25

为方便起见，构造出的圆P与圆O1正交，按定理知则圆O1的反形仍是该圆。