老王问题引出的问题

柳烟

我在研究田野风老师的《老王问题的纯几何作法》的好帖子时，将问题引伸为作三个半圆的公切圆圆心的轨迹，这问题其实就是阿波罗泥斯问题的特例。我没采用阿波罗尼斯的作法，也没试，不知能不能作出那轨迹。阿波罗尼问题作具体三个圆的公切圆时，问题不是很大，但在拖动过程中，动圆圆心的轨迹能否画出实在没把握，也太繁。设大半圆半径为R，左边半圆半径为r1，右边半圆半径为r2，则能计算出公切圆的半径x为：x=[r2*(R^2+r1^2-r2^2)-R(r1^2+r2^2-R^2)]/[2R(R+r1)-2r2(r1-r2)]，这个x能否用尺规作图法找出公切圆的半径？能用尺规作图法的条件是什么。
原老王问题见大帖：http://www.inrm3d.cn/redirect.php?tid=2267&goto=lastpost#lastpost

yimin0519

1# 柳烟

一种思路，供参考：

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2011-4-29 04:49

纯几何作图步骤：


相交弦定理：

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2011-4-29 05:06

呵呵，发这个帖子的时候，听到邻居家的公鸡打鸣叫的欢。

zjhdmyz

佩服您的专研精神。

柳烟

2# yimin0519
明白了，非常感谢。

柳烟

3# zjhdmyz
彼此佩服。

柳烟

根据2#板友的提示，作一个，强化记忆。
圆O1、圆O2、圆O3半径依次为R,r1,r2
1、作r1^2/R的线段AF;
2、作AF与r2的和O2G；
3、此时三半圆的公切圆的半径r=r1*r2/O2G，
改写成：O2G/r2=r1/r，
只要作出O2G、r1、r2的第四比例项O2I即得
公切圆半径。

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2011-5-3 13:40

三半圆公切圆心的轨迹.gsp (6.05 KB)

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2011-4-29 13:10

柳烟

上楼作法的第一步，其实就是作点O(OA=R)关于点A为反演中心，反演基圆半径为圆O1的半径r1的圆A的反演点F，此时AF=r1^2/R.接下来作出r1*r2=s^2的线段s,此时有r=s^2/(AF+r2)于是问题转化为再作一次反演变换，即可得到公切圆的半径，这半径是解决这个问题的关键。于是问题又有了另一种作法。
令半圆O1的半径为r1，半圆O2的半径为r2，最大半圆的半径为R，按2#板友的三半圆公切圆半径r的简化公式，作法流程如下。
1、由于O1O2＝R，只要作点O2关于反演基圆O1的反演点D，则O1P=r1^2/R。
2、作出r1与r2的比例中顶CQ；
3、此时r=CQ^2/(r2+O1P)，这时只要作出r2+O1D关于半径为CQ的反演圆的反演点即可找到半径r.将O1P接到O2B的延长线上，得O2M，以O2为心，CQ为半径作反演基圆，再作点M关于此反演基圆的反演点N，则O2N=r.

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2011-5-4 09:14

引出的问题反演作法（纯尺规）.gsp (6.98 KB)

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2011-4-29 14:19

yimin0519

上楼作法的第一步，其实就是作点O(OA=R)关于点A为反演中心，反演基圆半径为圆O1的半径r1的圆A的反演点F，此时AF=r1^2/R.接下来作出r1*r2=s^2的线段s,此时有r=s^2/(AF+r2)于是问题转化为再作一次反演变换，即可得到公 ...
柳烟 发表于 2011-4-29 13:18

反演是个好办法，但太麻烦了一点。
仁兄更有“磨”力！！
几何画板的度量值给予了我们不少方便，尤其是代替圆规的“两脚”尤显简便。但个人觉得既然用几何画板模拟传统尺规作图，不妨“一硬”到底，画面上还是没度量值更显“真章”（为表达示图方便特意设定的值除外，当然研究性质的也除外，呵呵）。

柳烟

8# yimin0519
受教，呵呵。此题最省事的办法是，将三个半径度量出来，计算出三半圆的公切圆半径，再用轨迹相交法，作出公切圆的圆心，这样画面上只要作出两个辅助圆，线条等等大大减少了。
如果画面上一点度量值都不整，按上面麻烦的办法，仍能完成，但线条还要增多，只要多用平移旋转等即可完成。欢迎讨论，人在讨论中开阔视野，打开思路。问好。

yimin0519

9# 柳烟

唔，2楼的附件中，“准”soddy圆的半径值我就是“硬画”出来的。

仁兄很是谦恭，是个作学问的人。呵呵呵。