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求极值工具---用于计算函数在区间上的极值。

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色彩研究---学会探索的方法
在网上查看看一点色彩学的知识，在参考一下画板的参数控制色彩，可以学习如何给轨迹上色。
研究画板中参数控制色彩的方法如下（代数法）：
1.创建参数x=1，y=1
2.描点A(X,Y)
3.创建三个参数H=1，S=1，V=1用来控制色彩
4.选中参数H,S,V和点A，打开显示菜单，用参数控制色彩，采用HSV体系。
5.用参数x驱动点A，构建轨迹m
6.选中参数y，构建y运动的动画，并追踪轨迹m。
观察1：
1.改变H,看色彩的变化
2.改变S，看色彩的变化
3。改变V看色彩的变化。
观察2：
设S为一发散到无穷大的数列（这样的数列可以用迭代生成）
1.观察S变化时，轨迹色彩的变化。
2.用ln（S）去减慢S的发散速度，再次观察色彩变化
3.用e^S加快S 的发散速度，再次观察色彩的变化
4.用周期函数如，sin（S),观察色差的变化。
观察3
s充分大(10^100以上)，或s=undefined时，观察色彩的变化。这是就可以实现图象的挖空。从图象中挖空一个圆，一个椭圆都可以办到。
等等，时间关系，不再细说，只是把探索的思路些出来。喜欢的网友可以按着个方法自己去探究，必有收获。
当然从探索的难易度来看，应该先探索单参数上色，然后才去探索三参数上色。掌握探索方法比掌握现成的结论更实用。
通常我们是用一条曲线去表示函数的图像，换一个角度思考，函数的图象为什么不能用色彩表示呢？从逻辑上看看它们是等价的。
因此可以说：上色就是用色彩表示函数的图象（或者说函数的图象就是色彩！只要跳出函数的图象就是曲线这种惯性思维，上色就会明了起来）。当然，不同的函数就有不同的图象了，
增函数，减函数，摆动函数，周期函数，对称函数，有界函数，无界函数各有各的色彩图象，各有各的美丽。
探索比知道结论更有趣。
在探索绘制函数的色图时，最好是把参数控制色彩面板的值左端点设置值<右端点设置值，这样观察函数的色图才更为方便。



-10^x从接近于0变化到 -∞的速度太快，所以函数的色图出现了粉红跳到纯白的突然跳跃。如果选用值变化比较缓慢的减函数，色彩的过度就会变的平滑起来。
上面的例子全是代数法作的：工具在这里叫fractal-tool（分形工具）：http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... age%3D1&page=12
其实就是一个简单的相似变换。可以放到成千上万倍。其实根本不用打造工具直接做就是了。
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学习HSV上色--扫描法画球
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2012-10-15 11:45

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2012-10-15 12:27

函数的色图.gsp (33.46 KB)

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2012-10-15 23:12

学习心得：研究上色方法如下：
1。用函数控制颜色参数
2.作出函数图象和函数的色图，并调出颜色控制面板对比函数的色图观察研究：函数值-->色相（或饱和度或亮度）之对应关系。（把色图看出函数的图象来理解）
3.阶梯函数的色图有一种跳跃感，典型的阶梯函数是truanc(x),周期函数的色图表现为周期性的变化，奇偶函数的色图有种对称性。y=（x-1）^2的色图关于x=1对有着某种对称性。
当然函数的色图与自变量的走势有关。利益阶梯函数的跳跃性可以创建有立体感的断裂色图。
4.画色图时要注意两个特殊的数据类型：∞，undefined.把这两个数据类型引入到色图中会有一些特殊的效果。
5.GSP中的无穷大指的是>10^308这样的数。
6.当把增函数，减函数，周期函数，凸函数，多项式函数，阶梯函数的色图都作了一遍后，对函数的色图的理解就进了一层。
7.对点(x,y)加入变换，观察色图的变化。
8.注意颜色面板中色宽范围的设置。这依赖于对函数值域的了解。以就是说画色图前首先要了解函数的值域，这才可以设置颜色面板的色宽，否则制作的色图自己都解释不了为什么会那样显示。
上色变的不受控制了。
9.所谓逃逸：指的是一个点P在平面上运动，当时刻t∈[a,b]时，点P不在区域A内，就说点P逃逸出了区域A.这是借鉴了计算机算法的说法。并无什么精确的定义。

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用HSV体系给分形上色
把初象距离，象距离，逃逸距离分配给H,S,V从而完成上色。


上图中误把初象距离sqrt((x-xn)^2+(y-yn)^2)标成了象距离。极限点可以打开文件，点击文件的按钮Hide others，此时会看到大量的小红点汇聚的地方，那里就是强调的地方，即分配给它高光。上一张图片强调的是原点，所以高光分配给了原点，上一张图片的初象距离为：sqrt(x^2+y^2). 两张图片的初象距离计算不全同，这主要是强调的地方不同所致，一句话强调那里就计算到那里的距离，把这个初象距离分配给高光就是用高光强调它，如果分配给饱和度S,那就是用饱和度去强调它，如果分配给色相H，那么被强调的地方的颜色就需要看标准色带图才知道是什么颜色了。标准色带图要自己做，p12页的分形工具中有。其实就是上楼中的色彩研究方法。工具其实并不是必须的。饱和度也就是灰度，饱和度越大灰度越小就是白粉越少，饱和度越小灰度越大，就是白粉越多。用高光和饱和度做为强调的要素是比较方便的，而用色相的冷热去强调是符合美学观点的。颜色面板上带宽的设置是一个技巧，设置多宽我想这需要经验的，我没这方面的经验。上面的几张图片都是同一个画板文件做的，只是上色的参数不一样。第一张的色宽设置的小只有0.几个宽，，第二张的色宽设置的也小，第三张的色宽设置的较大大概是0~1之间吧。这种距离上色的办法可以推到普通的轨迹上色上去。
如果有时间我真想写一篇《一起学分形》的帖子，可惜没这么多时间。

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代数法扫描 J,M集合方法
======或P12 fractal tool============

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下一步将分析f(z)=z^2+c作用在园上，其象是什么形状，象在哪里？
这个问题的分析是了解全域作图的关键，全域作图是为了上背景色，变换f作用在圆上的象就是等势线，等势线的变化规律有必要去探索，如何探索，下次再讨论。
其实在这里也有初步的图象探索了：http://www.inrm3d.cn/viewthread. ... age%3D1&page=11
1.研究复变函数w=f(z)始终要用两个平面，一个是描述原象的z平面，一个是描述象的w平面。
2.画板中在研究复变函数时这两个平面被合在了一起。这读大学时教材都是这么处理的。
3.在z平面内一簇曲线，被w作用映射到了w平面，得到w平面内的一簇同心圆，它们就叫f（z）
的等势线。即|f(z)|=r这个条件得到满足是复平面内的点z的轨迹就是等势线。

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数学分析中的等势线定义：曲面Σ：z=f（x，y）与z=k的交集，投影到xy平面叫Σ的等势线。
等势线上任取一点p，则f（p）=k。
复变函数中等势线的定义：设w=f(z)的反函数为w=g(z)，如果g(z)把一簇不相交的同心圆映射成不相交的曲线系C,
就说曲线簇C是函数f(z)的等势线。显然f将把等势线映射成一簇同心圆。所以在同一等势线上，f（z）的模为常量。
这样就可以得到复变函数f（z）的等势线的等价定义：w=f(z)的模为常量，z的轨迹就构成了f的一条等势线。
上面的文件就演示了Julia集合的等势线。这是用等势线逼近J集合的方法。
Julia集合的等势线定义：设f(z)d的反函数是g(z),g经过n迭代后记成g^n(z),圆进gn次迭代后的象叫Julia的等势线。
这个定义等价于：如果曲线C由f（z）迭代n次成为圆，即|f^n(z)|=r,就说z的轨迹，即曲线C为Julia的等势线。
上图（可以看文件）是迭代三次的等势线。点w（看文件）就在等势线上，看以看到满足|f^3(z)|=r.
J集合的等势线不是说|f(z)|=r，是f经n次迭代后的象的模为常量。有一点要注意，在上面作图中 -c，才是通常意义下的c。可以改过来。
用这个方法，可以进一步的研究其它圆锥曲线经n次迭代后的象长什么样子。
如果你追踪黄色的等势线，拖动相应的圆，等势线将被显示，那种流线的感觉，如流体力学中的图形很美，很受用。那种流线是圆经2个压缩映射迭代后的结果。
定理（最大模定理）：有界闭集上的复变函数的最值被边界点决定，等势线这个可以用来估计f^n(z)的
模sqrt(xn^2+yn^2)值域,这个值域可以用来参考上色，以填入颜色面板。

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Julia集合的一种作图

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Julia 集合的迭代作法
  ----由跌代10次图中含有点4092个点组成的Julia集合
  这个例子说明边界才是J集合。J集合不是内部部分。这个作法可以快速的演示J集合的形状，对于了解
不同的c值对应不同的J集合大有帮助。而且跌代6次就可以显示J集合的形状了。而且还可以观察轨道。
稳定和混沌都得到了较好的显示。
终于算清楚点数了：
迭代次数是n时，
图中含点4（2^n-1）这个跌迭代好玩，出现了一个准确计数问题，这在分形中是第一次提出来。.
如果追踪迭代象，就可以显示等势线。而且势值=圆半径。
终于找到了J集合边界的作法了----用等势线去逼近它。
这个作图解决了Julia集合的抽象问题，让J集合由抽象走入视线。同时从IFS的角度看，这个作图说明了J集合是压缩映射
｛ｗ=sqrt(z-c),w=--sqrt(z-c)｝作用的结果，J集合是这个压缩映射的吸引子。图中的红色部分才是J集合，里面的不是J集合。
这里的例子验证了关于J集合的一个定理：f(J)=f^-1(J)

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再次探索着色问题
一.着色探索的方法
1.要研究着色首先要有一套研究的方法，这里要研究的参数对色彩的控制，采用的是扫描法（当然轨迹着色也是一样的）
2.准备：
a.创建参数x=1，y=1
b.创建动画按钮：运动参数y（右键属性把范围设置成-2~2）
c.再次创建参数H=1
e.描绘点A(X,Y),并创建隐藏A的按钮。
f.选中点A和参数H,打开显示菜单，按下shift，点击颜色命令，进入参数控制颜色，选中
灰度着色模式，并把颜色宽度设置成0~1.ok。
g.选中点A和y构建轨迹，并通过编辑菜单下的追踪命令，追踪这个轨迹。
实验：按动按钮y，扫描的灰度色出现了。
以后的探索将反复运用这个方法，所以最好是把上面的文件作出工具，可以取名叫color(param)
(color--颜色，param--参数)下次要用只要修改参数就可以了。
注：记esc=sqrt(x^2+y^2),这个参数描述了动点A到原点的距离，称为距离函数。

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第一个探索：画球
效果如下：

这个球不是圆形扫描线画的，是线性扫描线画的，它的高光不在正中间，那么这个球是探索出来的呢？
首先，我看待着色是两个函数的复合，
函数1：A-->f(A),其值域是V
函数2：t-->COLOR(色，不是数)（t∈[0,1],有颜色面板确定）
着色即是映射：A-->f(A)--color.
如果集合V比【0,1】大，那么起作用的是[0,1]，超出部分的值将以常色显示,如果V比[0,1]小，起主要作用的是V。
下面将逐步完成画球探索;

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A.----黑色的圆
计算esc=sqrt(x^2+y^2),并编辑H的值为esc。
用H对点A上色，并构建x驱动A的轨迹，并追踪它，运动y扫描，得下图
看起来有点失望，一块黑饼。不要急，慢慢来。

分析为什么是这样一个黑饼?
1.x,y∈[-2,2],所以esc∈v=[0,2],而颜色面板设置的色宽D=[0,1],显然D是v的子集。
想想复合函数：P-->f（P）-->COLOR.马上就知道，超出D的值将以常色显示。
具体的讲究是超过1的那部分值将以白色显示，所以我们看到了一个半径为一的黑圆。
2.由于距离函数为esc=sqrt(x^2+y^2),这个函数也可以写成esc=r(r是圆半径)，显然
esc关于r是增函数，其值由0递增到1，再由1递增到2.所以在函数f(P)--->COLOR的作用下
，颜色将从纯黑（0）渐变到白（1），越过值1后将是常色，此时的常色就是白色。
这就是我们看到一个半径为1的黑圆的原因。