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数学分析中的等势线定义：曲面Σ：z=f（x，y）与z=k的交集，投影到xy平面叫Σ的等势线。
等势线上任取一点p，则f（p）=k。
复变函数中等势线的定义：设w=f(z)的反函数为w=g(z)，如果g(z)把一簇不相交的同心圆映射成不相交的曲线系C,
就说曲线簇C是函数f(z)的等势线。显然f将把等势线映射成一簇同心圆。所以在同一等势线上，f（z）的模为常量。
这样就可以得到复变函数f（z）的等势线的等价定义：w=f(z)的模为常量，z的轨迹就构成了f的一条等势线。
上面的文件就演示了Julia集合的等势线。这是用等势线逼近J集合的方法。
Julia集合的等势线定义：设f(z)d的反函数是g(z),g经过n迭代后记成g^n(z),圆进gn次迭代后的象叫Julia的等势线。
这个定义等价于：如果曲线C由f（z）迭代n次成为圆，即|f^n(z)|=r,就说z的轨迹，即曲线C为Julia的等势线。
上图（可以看文件）是迭代三次的等势线。点w（看文件）就在等势线上，看以看到满足|f^3(z)|=r.
J集合的等势线不是说|f(z)|=r，是f经n次迭代后的象的模为常量。有一点要注意，在上面作图中 -c，才是通常意义下的c。可以改过来。
用这个方法，可以进一步的研究其它圆锥曲线经n次迭代后的象长什么样子。
如果你追踪黄色的等势线，拖动相应的圆，等势线将被显示，那种流线的感觉，如流体力学中的图形很美，很受用。那种流线是圆经2个压缩映射迭代后的结果。
定理（最大模定理）：有界闭集上的复变函数的最值被边界点决定，等势线这个可以用来估计f^n(z)的
模sqrt(xn^2+yn^2)值域,这个值域可以用来参考上色，以填入颜色面板。

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Julia集合的一种作图

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Julia 集合的迭代作法
  ----由跌代10次图中含有点4092个点组成的Julia集合
  这个例子说明边界才是J集合。J集合不是内部部分。这个作法可以快速的演示J集合的形状，对于了解
不同的c值对应不同的J集合大有帮助。而且跌代6次就可以显示J集合的形状了。而且还可以观察轨道。
稳定和混沌都得到了较好的显示。
终于算清楚点数了：
迭代次数是n时，
图中含点4（2^n-1）这个跌迭代好玩，出现了一个准确计数问题，这在分形中是第一次提出来。.
如果追踪迭代象，就可以显示等势线。而且势值=圆半径。
终于找到了J集合边界的作法了----用等势线去逼近它。
这个作图解决了Julia集合的抽象问题，让J集合由抽象走入视线。同时从IFS的角度看，这个作图说明了J集合是压缩映射
｛ｗ=sqrt(z-c),w=--sqrt(z-c)｝作用的结果，J集合是这个压缩映射的吸引子。图中的红色部分才是J集合，里面的不是J集合。
这里的例子验证了关于J集合的一个定理：f(J)=f^-1(J)

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再次探索着色问题
一.着色探索的方法
1.要研究着色首先要有一套研究的方法，这里要研究的参数对色彩的控制，采用的是扫描法（当然轨迹着色也是一样的）
2.准备：
a.创建参数x=1，y=1
b.创建动画按钮：运动参数y（右键属性把范围设置成-2~2）
c.再次创建参数H=1
e.描绘点A(X,Y),并创建隐藏A的按钮。
f.选中点A和参数H,打开显示菜单，按下shift，点击颜色命令，进入参数控制颜色，选中
灰度着色模式，并把颜色宽度设置成0~1.ok。
g.选中点A和y构建轨迹，并通过编辑菜单下的追踪命令，追踪这个轨迹。
实验：按动按钮y，扫描的灰度色出现了。
以后的探索将反复运用这个方法，所以最好是把上面的文件作出工具，可以取名叫color(param)
(color--颜色，param--参数)下次要用只要修改参数就可以了。
注：记esc=sqrt(x^2+y^2),这个参数描述了动点A到原点的距离，称为距离函数。

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第一个探索：画球
效果如下：

这个球不是圆形扫描线画的，是线性扫描线画的，它的高光不在正中间，那么这个球是探索出来的呢？
首先，我看待着色是两个函数的复合，
函数1：A-->f(A),其值域是V
函数2：t-->COLOR(色，不是数)（t∈[0,1],有颜色面板确定）
着色即是映射：A-->f(A)--color.
如果集合V比【0,1】大，那么起作用的是[0,1]，超出部分的值将以常色显示,如果V比[0,1]小，起主要作用的是V。
下面将逐步完成画球探索;

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A.----黑色的圆
计算esc=sqrt(x^2+y^2),并编辑H的值为esc。
用H对点A上色，并构建x驱动A的轨迹，并追踪它，运动y扫描，得下图
看起来有点失望，一块黑饼。不要急，慢慢来。

分析为什么是这样一个黑饼?
1.x,y∈[-2,2],所以esc∈v=[0,2],而颜色面板设置的色宽D=[0,1],显然D是v的子集。
想想复合函数：P-->f（P）-->COLOR.马上就知道，超出D的值将以常色显示。
具体的讲究是超过1的那部分值将以白色显示，所以我们看到了一个半径为一的黑圆。
2.由于距离函数为esc=sqrt(x^2+y^2),这个函数也可以写成esc=r(r是圆半径)，显然
esc关于r是增函数，其值由0递增到1，再由1递增到2.所以在函数f(P)--->COLOR的作用下
，颜色将从纯黑（0）渐变到白（1），越过值1后将是常色，此时的常色就是白色。
这就是我们看到一个半径为1的黑圆的原因。

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B---新的问题
那么我们增加圆半径，黑色部分是增加还是减少呢？
为此，我们增加一个参数t，并修改距离函数为esc=t*sqrt(x^2+y^2)(t≥0).
从形做上面的实验自然就有答案。
问题是我们不去做实验，可以分析出答案来吗？
当t=0.5时，esc∈v=[0,1],刚好v=D，此时应该得到一个完整的嵌入边长为4的正方形的黑色的圆。
当t=1.5是，esc的值域V=[0,1.5*2],这个集合比D大，超出的区间是[1,3]
这说明，esc的值从0增加到1时，颜色从黑渐变到白，esc的值从1增加到3时颜色是常色，白的。
这里起决定作用的区间是[0,1],常白区间是[1,3],这个常白区间比上楼的常白区间大了，所以黑色部分
应该减少，黑色的圆变小了。换一个角度看如果用[0,1]区间的长/v区间的长，显示这个比在t变大时
会变小，起决定作用的区间占总的值域v的比重小了，意味着黑色部分减少了。
实验结果和理论分析是吻合的。为了以后说起来方便，把V超出D的那部分区间叫常色区间。
而把颜色面板设置的区间D与值域V的交集叫主值区间。
这里的分析用到了函数的单调性。



可以试试利用值域分析一下为甚么第3个图会成为一个正方形。

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C--把距离函数改变为减函数会怎么样？~~“空洞的形成”
从上面的分析，可以看到当把距离函数改为减函数时，渐变将完成从白到黑的过度。
现在取距离函数esc=2-sqrt(x^2+y^2),记r=sqrt(x^2+y^2),从而esc=2-r（r∈[0,2],
esc∈v=[0,2]）,esc关于r递减。
实验结果如下：

那么如果v的值域变大或变小，那个白色的圆是变大还是变小呢？
记esc=t*(2-sqrt(x^2+y^2)),esc的几何意义是点A到半径为2的圆的距离。如果把这半径为2的圆叫边界，这个距离可以叫边界距离。
这说明越接近圆心，esc的值越大，从而越白，离圆心越远，esc 的值越小从而越黑。
取几个特值看看：
t=0.3时，v=[0,2*0.3],此时值域v比区间D=[0,1]小，主值区间为v，r=0时，esc最大=0.6，此时带白色（1为纯白），r=2时，esc最小=0，此时是纯黑。此时常色区间为区间为[0.6,1],r=0的附近出白色。黑色的比重=0.6/1
t=0.5时，v=[0,1]=主值区间D,r=0，esc最大=2，显示白色，r=2，esc最小=0，显示黑色。常色区间是空集。刚好完成从黑道白的过度。色的比重是1
t=1.5是，v=[0,3]比主值区间D=[0，1]大，常色区间为[1,3],常数区间显然是白色区间。出现空洞。
黑色的比重=1/3
实验结果是不是这样呢？






所以分析彩色的过度要分3类：
1.v在D中,区间外的值不起作用。此时主值区间是v，v越大圆越大。
2.v=D，区间外的值不起作用。此时的圆可以算是一个设置下的标准，其他的圆可以和它比较大小。
3，D在v中。此时超出的区间为常色区间。这个区间上的值不会引起色彩的动态改变。色彩显示成固定色。空洞将会出现。
无论esc是增函数，还是减函数，只要v大于D，就会出现“空白”，这个空白在增函数时出现在圆外，减函数时出现在园内，这种装框本质一样，
都可以叫“空洞出现”
为了描述起来方便，说D∩v叫主值区间，D与v的这个差额区间叫常色区间。颜色面板上的设置叫色宽。而D∩V/D或V=色的比重，它刻画了黑色的多少，它是一个值在0~1间的数据，1代表全是黑的，没有空洞，就如上面的第3图那样。下一步就是要利用这个白色的空洞形成高光，最后完成球的扫描。

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D---亮环宇空洞出现的大致参数




如果把白的当做无色，黑当有色看，那么主值区间长/D或V的长，就是色的比重，这个量刻画了黑色的比例。
图1色的比重，1/3.即1/3的是黑色。
图2色的比重=1/1.5=2/3
图3色的比重=1/2
图4色的比重=1/1,这时基本看不到空洞。
到此可以得到衡量色的几个计算量：
D∩V=主值区间，色主要由着个区间决定V-D=常色区间（集合减法），V大于D的常色区间重要。V小于D时常色区间是空集合。
D是V的子集时，D∩V长/v长=色的比重。V是D的子集时，D∩V长/D长=色的比重.
D=颜色面板设置值
V=自定义函数值域。
这样我就创建了第二个刻画黑白成分的量色的比重。同时可以说色就是同类[同类区间]数据的表现。象上图那样用标准色带结合数轴标记分析色是比较方便的方法。

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带白色的圆半径是1，我们需要挖掉外圆外的黑色部分，这只要象图中那样引入一因子就可以了。
那个因子使园外部分产生undefined类型的数，从而实现了消隐。然而此时你会发现，球的高光位置
不对？怎么办呢？

这时我们对高光加入平移(a,b)就可以实现高光的转移。到此一个有立体感的球就画完了。

最后，我们了解了距离函数的作用。当我们要强调点P(a，b)就可以计算动点A到P的距离。
距离与灰度结合，或用白色去强调点P或用黑色去强调点A.
由于距离的重要性再次给出距离的定义：
dist=sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)叫点A到（a，b）的距离。
esc=r-dist叫边界距离（逃逸距离），它描述了点（x，y）到半径为r的圆周的距离。它关于dist递减。
此外undefined，∞（大于10^308的数，电脑就定义为∞，你可以用几何画板的计算器观察的到）是两类特别重要的数据类型。我在探讨中自己取了一些名词，主要是为了探讨方便，可能不恰当，但没有名词就没法交流。
球是练习着色的非常好的素材。
下一步探求绘制木质条纹
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