myzam

逻辑变量的魅力：
对Sierpinski迭代出的三角形，按迭代次数的奇偶分类上色，迭代后可调控颜色，让死气层层的Sierpinski三角，充满了生气。
如果构建的逻辑变量是连续型的将产生渐变上色。如果构建的逻辑变量是离散型的将产生非渐变上色。逻辑变量是控制上色的有力
方法。
曾经觉得困难的问题，现在变得简单起来，只因为逻辑变量的引入，改变了我的观点，也改变了我的方法. 按迭代次数奇偶分类上色.zip (2.28 KB)

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2012-8-9 10:56

peter212

这个贴真是好贴，好好研究下。

myzam

这两天在网上下了本电子书：《分形几何--数学基础及其应用》（作者是英国人），从头到尾看了个大概，发现研究分形的工具是实变函数（尤其是中间的点集的知识，和测度的知识的灵活运用）。而实变函数是大学里面最抽象的一门课，看来要深入的研究分形必须去复习实变函数论。同时分形还与微分方程的解的稳定性有关，如吸引子就是微分方程里面的一个概念而在IFS中就是集列的极限。分形是一个前沿学科，跨数学的几个分支，真难！我还是走马观花的学一点分形算了，要系统的学习分形那工作量太浩大了。分形远远不是网上的博文说的那么简单。

xiaongxp

谈一点对分形学习的初浅认识。人们对分形几何需求，应由自己的兴趣取向而定。
      如果你对分形理论与应用感兴趣，是要把分形几何当数学分支学科来学习的，它就是相当前沿的数学学科了，要求你有扎实数学功底。
      如果你只对分形艺术感兴趣，你可以撇开那些深奥的数学理论，除了要提高你的一般艺术修养、掌握其他艺术手段之外，还必须精通一些主流的分形软件。
      如果你是一个普通的分形爱好者，仅对分形可视化的初级算理感兴趣的话，那么大学(甚至高中)那点数学知识就够了，因为我们只以体会到数学美为目的。
      所以，作为上述第3层次的需求者，只要我们有恒心、掌握几何画板的迭代技术就可以了。

myzam

IFS的吸引子和分形的关系：






说明2：函数迭代系统IFS也可以这样说的:
T是压缩映照（通常是多值的），构造迭代E=T^0(E),T^1(E),T^2(E),...,
称{T^0,T^1,T^2,...}这组变换叫IFS,注意如果T是多值映射这就和上面的定义是一样的，如果T不是多值映射，这和上面的定义就有差别。
，可以证明当E是有界闭集时，且T是压缩映射时
【紧集（等价于有界闭集合，闭集就是对聚点封闭的意思，如果对聚点还不明白的话，聚点就是极限点，当然要有聚点，如集合{1,2,3}就没聚点，但他是闭集）】，集列{T^n(E)}是单调收敛的。其极限为F.F就是吸引子。
微分方程的解的稳定域只有渐渐稳定域（用极限定义）才叫吸引域（子），做法和iFS的定义精神是相通的。
比喻：再看看单摆，单摆最后会在中间位置停下来，这个中间位置就是单摆迭代系统（动力系统）的吸引子。
IFS等价于说动力系统。说IFS更加数学化点，说动力系统就带有物理化的味道。其实都是一样东西。
说明3：一个压缩映射一经确定，它的不动点就存在了，一个压缩映射只有一个不动点。不动点和吸引子是
不同的两个概念。
说明：网上对吸引子有一种说法，说吸引子就是把一个坐标系变到另一个坐标系，一串变换就是IFS.这个比喻不恰当。由上面的定理可以明确的看出，“吸引子就是迭代的集列的极限”，这再清楚不过了，它代表着一种稳定状态，我们平时画分形图时，迭代到一定的时候就感觉不动了，为什么？因为集列收敛了，处于一种稳定状态了，所以你看到的图似乎就不动了。吸引子通常就是分形，但不绝对。因为如果吸引子是一个点我们不会承认它是分形的。吸引子代表着一种稳定状态，当这种稳定状态被破坏后，混沌就出现了。一个系统混沌意思着初值有细微的改变都将引起系统的输出“值”的巨大改变。混沌一种貌似随机现象的现象。
说明：我们把迭代想像成一个树图的形式，那么IFS就很好理解了。就知道为什么要求T的多值性了。
到此完成了对IFS这个概念的构建。

myzam

分形几何究竟研究什么？
1.回顾欧式几何：在欧式几何中在正交变换群下不变的性质叫欧式性质。
换句话说在欧式几何中就是要研究那些几何性质在正交变下是不变的。
2.自然会问，分形几何研究什么样的几何性质?
由于分形几何产生的时间还很短，还没有发展到像欧式几何，仿射几何，射影几何那样用群来划分它们。
但是学者们提出了这样一个观点：标度不变性。也就是说具有标度不变性的几何性质就是分形研究的几何性质。
那么什么是“标度”呢？标度就是尺子。
举例：Koch雪花曲线，我们要度量它，用通常的线段作为尺子去度量它是不行的。我们采用的是把Koch雪花
缩小s，用以个小的Koch雪花去度量原来的Koch雪花。当然我们也可以把最初的Koch雪花缩小s^2,得到一个更小的Koch雪花，以它为尺子去度量最初的Koch。按这样的方式选尺子，无论你选多小的尺子（标度），用这把尺子去分协最初的Koch我们获得的几何性质是一样的。这就叫标度不变性，只有具有标度不变性的几何性质，才是分形几何要研究的性质，类比欧式几何的叫法，可以形象的叫“分形性质”。
3.分形的自相似性和标度不变性是不同的两个概念。但确密切相关。
正是由于分形的自相似性，才使得我们无论选用都小的“尺子”去测量分形，都会或得相同的性质。
大自然中的分形只具有近似的自相似性，学者们把具有严格自相似性的分形叫数学分形（有的叫确定性分形），而把近似（统计意义上的）的满足自相似性的分形叫统计分形（有的叫随机分形）。相应的把自相似性成立的区间叫无标度区间。“无标度”不是说没有标度的意思，恰好是有标度的意思，其意思是无论采用的尺子是大还是小，都不影响对分形的测量，和获取分形的几何性质。总之，到目前为此分形中的概念并为完全统一。叫法也不尽相同就严分形的定义都没有一个统一的标准。根本原因在于这是一门新新学科它还在发展中，现在还很不完备，但这并不影响人们对分形的兴趣。分形在几何上得到了应用，让人误认为分形等于就只是一门几何学吧了，其实分形还被广泛的应用到数值分析中，如地震的预报，生物种群数的变化预测等等。因此分形是一门超越几何学的新学科。分形不仅仅就是研究几何。
分形的三要素是：吸引子(无限的层次)，迭代过程（系统内部的相互作用），迭代规则（非线性规律）。
4.历史记：
1872年：cantor集合
1892年：weierstass函数
1906年：布朗运动，Koch曲线
1916年：Sierpinski三角
1919年：Hausdorff维数（分维）--有个电影叫宁列在1919
1951年：用分形研究尼罗河
1954年：用分形研究地震，用分形进行了数值分析
1975年：Mandlbort引入分形Fractal一词
1982年：分形用到了生态学上
1984年：发现分形和动力系统吸引子的关系。
1986年：提出迭代系统IFS.距今只有34年。
1991年：世界上第一份关于分形与混沌的期刊才被英国人创建出来
5.分形教材：
第一本：《分形几何---数学基础及其应用》（英国人），这本书比较专业，要具有测度论和概率论的专业知识，是为大学数学系写的教材。
第二本：《分形几何学》（陈颙），这本书容易读懂，有科普的味道在里面，所以这本书在网络中流传较广，学习分形我想从这本书开始是不错的选择。把这两本书名放到这里大家一起分享。另书中附有作业题，题目的答案在书的最后。
6.分形在地里学中的一个例子：
记P为河流长，A为河流流域的面积。世界上的河流分布形成的图形就是一个分形图。那么，这个分形图的维数D=1.2，且P=c*A^（D/2）,这就是著名的Hack定律。真是神奇居然把流域面积和河流长的关系找了出来。这种量上的幂指数关系，在分形学中统称为幂律。
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附件是测量从上海到香港这段海岸线的盒子维数的计算。要把两个文件一起下才可以打开。

xiaongxp

126# myzam
关注着赵老师对分形的高端阐述，这个层次的思考我一直不敢涉足，期待着从这些论述中吸取赵老师的智慧。
压缩文件无法解压，请重新上传

inRm

myzam，真是玩什么像什么，钦佩之至。

xiaongxp

Sierpinski三角的盒维数.gsp (3.9 KB)

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2012-8-22 23:55

myzam

再证吸引子定理：