myzam

18# mjj_ljh
梅老师过奖了。梅老师是画板论坛的分形先驱，我一直想学习分形，改天向你学习分形。梅老师的经验也是非常的丰富。

myzam

21# inRm
我认为是一样的，因为，如果你在直线ab上度量出三点abc的比，然后把点c从直线ab上分离，三点的比的数值还是存在，并会随着分离出来的点的变化而变化，但是如果你把分离出来的点的再正投影到原来的直线上去得到点c‘，再次度量投影点和直线上abc’三点的比，你会发现前后两次的比是相等的。所以，我认为分离只是表象，本质始终是直线上三点的比。这个比不是单比也不是定比，准确的讲就是以a为原点，b为单位点的c的在直线ab上的投影点的仿射坐标。如果我的理解有误，就得修改前面的问题。

myzam

23# xiaongxp

问题1：圆上有三点abc，如何直接度量这三点的比？
问题2：y=x^2的图形三有三点abc如何直接度量出这山点的比？
我强调的是直接。
退一步，我不管你用什么方法度量出了问题1,2中的比，
我们做一条水平直线，把abc三点平行投影到这条水平投影上去得a'b'c'三点，这时度量出a'b'c'三点的比，再和你度量出来的比看看差别在哪里。你们还是没说服我。

myzam

25# xiaongxp
仿射比在平行投影下是保持不变的。点的比问题是三个点如果不共性就是灰色的，只有共线的三点才可以激活按钮。比的根就是“共线三点的仿射比”，坦率的讲，我记得读书的时候老师在射影几何里只讲过曲线或直线上4点的交比，没讲过曲线上三点的仿射比这个概念（除非引入无穷远点，这是空间变成了扩大的仿射空间了），所以我对论坛里出现紧致连续和仿射比挂勾的文章也好奇。想找来看看。仿射几何中引入仿射比是基于一切仿射不变量都可以用仿射比表出，如果没有这个定理，仿射比就没存在的理由了。

myzam

27# xiaongxp
你还是没说服我。呵呵。回复在文件中。对不起今天才注意到你的文件，所以才回复和你的讨论。
= 点值、比、仿射比（myzam回复）.gsp (8.96 KB)

下载次数: 10110

2012-7-30 14:41

=

myzam

30# changxde
不好意思，我没看懂你的文件要表达的意思。嘻嘻。

myzam

33# inRm
我们讨论这个问题，就要先理理几个概念。
1.关于仿射几何中的单比的定义：
已知直线AB上有一点C,关于ABC三点的单比定义为：AC/BC,一般记着（ABC）（规律为：端点分点，端点分点）,单比是仿射几何中的最基本的不变量。
仿射几何的定理：仿射几何中的一切不变量都可以用单比表出。几何画板里面的点的比ratio很明显不是单比，它是单比的函数。因为画板中的ABC三点
的比为：AC/AB,如果我们记ABC三点的单比为t即t=（ABC）,记几何画板中度量出来的ABC三点的比为k，则k=f（t）=1/(1-t).k同样不是解析几何中的
C分AB成的定比，C分AB成的定比k1 同样是单比的函数K1=g（t）= -t，事实上单比在仿射几何里面的地位相当于距离，夹角在欧式几何里面的地位。
其实距离和夹角就是欧式几何（简言之：高中，初中用的几何）的基本不变量，欧式几何里面的一切不变量都可以有距离和夹角这两个基本的不变量表出。
2.仿射变换的含义
  这里给出几何法下的定义：平行投影的积就叫仿射变换。代数定义与这里的讨论无关。
3.单比为什么是仿射几何的基本不变量？
定理：单比经仿射变换保持不变。
正是这个定理，肯定了单比在仿射几何中的地位类似于距离夹角在欧式几何里的地位。这个定理同时也说明了单比的函数也在仿射变换中保持不变。
无论我们的仿射变换做的多面花哨，要想改变单比那是徒劳的。理论就是这样的。
几何画板中的仿射变换采用的是：正投影的积来定义的，猜测这么做是为了简化编程。几何画板中的仿射变换没有采用斜投影。
实例：度量直线上三点ABC的比t，把C从直线AB上分离出来，把分离出来的点依旧记着C，作C到AB的正投影点C‘，度量ABC’ 的比t1，你会发现
永远是t=t‘。关于曲线上的比，要从射影几何说起，
4.待续

myzam

接上：
4.交比(复比)的定义。
   射影几何中直线上4点ABCD的交比定义为：AC/BC ： AC/BD,记着(AB,CD)，AB叫基点偶，CD叫分点偶。从定义上可以看出(AB,CD)=(ABC) ：(ABD)就是两个单比之比，故叫交比或复比。当D点是直线上的无穷远点时，（ABD）=1，此时(ABCD)=(ABC),也就是说交比的第4个点是无穷远点时，交比的值就是ABC三点的单比。纯净的仿射几何是没有无穷远点这个概念的。当我们在仿射几何里面引入了无穷远点后，仿射空间就叫扩大的仿射空间了。
5.交比的性质：
  定理：交比经射影变换后保持不变。形象的讲交比在射影几何中的位置类似于距离夹角在欧式几何里面的位置。一切射影不变量都是交比的函数。
什么是射影变换？这个问题于这里的讨论没关系，但有一个与讨论有关的定理：就是仿射变换一定是射影变换。由4知道，当D为无穷远点时，(ABC)
=(ABCD),所以交比具有的性质单比都具备。另外中心投影就是射影变换，从射影几何的角度看平行投影其实是中心在无穷远处的投影。
6.交比的性质：
定理：交比经投影和截影保持不变。（中心投影平行投影）
比如：在直线l上有四点ABCD,在直线外取一点P（可以是无穷远点），连接PA,PB,PC,PD,用以直线m去截PA,PB,PC,PD得四点A1，B1，C1,D1按定理有：
(AB;CD)=(A1B1;C1D1)----这就是所谓的截影下不变。在说投影下不变类似。
由此得到，单比同样经投影和截影会保持不变。
7.圆锥曲线上四点的交比的定义
。。。。。写起来太多了

myzam

7.圆锥曲线上四点的交比定义
首先给出一个记号：直线1和直线2的夹角记着 a12.
定义：在射影几何中，在圆锥曲线上有四点ABCD,在射影几何中的圆锥曲线上取定一点P，则PA,PB,PC,PD构成4直线，取名为1,2,3,4.我们定义
比值：sin(a13)/sin(a23) ： sin（a14）/sin(a24)为圆锥曲线上四点的交比。记着(AB;CD),此时，四点的交比
同样经投影（中心投影）后保持不变。也就是无论用多面花哨的射影变换要想改变交比是图徒劳的。如果我们在射影几何的圆锥曲线上
（射影几何中无平行的概念，射影几何中任意的两线都相交。所以射影几何中的投影只有中心投影）
Q,用Q与ABCD形成的四线来计算交比，值是一样的。，因为经中心投影不会改变。特别注意：交比定义中中心P是圆锥曲线上任意的一点。注意在射影几何中圆与椭圆是一回事。在射影几何中要去区分圆和椭圆就相当于在初中几何中要去辨别直线和直线的差别一样。
前面我们知道，当交比的第4个点为无穷远点时交比就是单比。由此可以看到在扩大的仿射空间中，椭圆，双曲线，抛物线（除去圆）上讨论三点的单比是毫无意义的，因为无法满足圆锥曲线上四点交比的定义。。圆上可以讨论四点的交比。但是圆上没有无穷远点，不可能去讨论三点的单比。
还有一个要注意的问题：仿射几何是射影几何的子几何。就是说射影几何的定理必须在仿射几何中也能成立。结论：画板根据上面的数学知识：几何画板中不可能去讨论一般曲线（圆除外）上四点的交比，交比都不能讨论，单比就更不可能讨论了，因为圆上没有无穷远点，因为那样做是反数学知识的。所以无论怎么样变换，几何画板里面的比，根本就是直线上三点的仿射比1/(1-t)
8.如果在画板中一A原点，B为单位点建立仿射坐标系，那么
第1：在AB山任取一点C，求ABC三点的比等于是求C的坐标。
第2：已知直线上一点D的坐标是k，在直线AB上描点，等于是用缩放菜单下的缩放命令：以A为中心，对B按比例k的缩放得到的像点就是D在一维仿射空间中的图像。
所以画板中的求比和缩放是一对互逆的命令。
  纯属个个人意见。不一定对。

myzam

40# inRm
我们都可以保留自己的意见，好在这不影响对画板的操作。
这种情况如果分离了点的话，画板自动按直线计算比值。