牛顿分形的“光滑”着色

changxde

所谓Newton分形，就是在复平面上给定复函数g(z)，构造Newton迭代公式 f(z)=z-g(z)/g'(z)，对复平面内的每一点z0，用Newton迭代公式 z_(n+1) = f(z_n)进行迭代计算，得一迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），根据这序列的不同表现，选定一个颜色值给z0以标记，在复平面内就形成了一个漂亮的图案就是Newton分形。典型的有 g(z)=z^3-1.

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2012-7-27 23:03

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2012-7-27 23:03

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2012-7-27 23:03

changxde

对于Newton迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），一般可以很快收敛于g(z)的一个零点，但一般情况下g(z)有多个零点，而且我们不能准确写出g(z)的零点值。为此我们作变换dn=zn-z_(n-1)，构造新序列：d1，d2，d3，……（2），它可以很快收敛于0。可以想象，由于z0在平面内的不同位置，它们分属于g(z)的不同零点的领域，即使在同一零点领域，也有离零点远近之分，为此，再引入一个小正数 ε>0，对于z0，若存在一个正整数 N，当 n>=N 时，||dn||<ε，而 n<N 时，||dn||>ε ，这时对于z0，产生几个可用来给z0标记颜色的特殊值，N，zN，dN。N——逃逸时间，zN——迭代终点——应该很接近零点，dN——最后一次迭代的步长。当然，由于时间和技术问题，我们应该设定一个最大迭代次数 M ，对一般的点z0 的 N < M，可是有一些点z0，迭代 M 次后仍有 ||dM||>ε，这些点就是零点领域边界附近的点，画在图上就是Newton分形的分形链上的点。

柳烟

好象N集光滑作色，不是完全抹平等势圈，如果完全抹平后，每块缺乏立体感，成平面状，边界看起来也不太美。

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2012-7-27 20:33

这是UF中的效果，各块看起来光滑，仔细一瞧，仍有等势圈，只不过等势圈十分摸糊，晃眼一看，很是光滑。不知能否象圆陷阱那样，使每块成为 伪3D.

changxde

3# 柳烟

是那一个效果，我怎么没找到

changxde

2# changxde

关于迭代序列的收敛问题，要用到数学理论，我已经淡忘了，网友可以补上。

changxde

为了淡化等势线，我们考虑 ||dN||/ε 这个值，它的值域是(0,1]，把它与逃逸时间结合起来，即可淡化等势线。
不过因缺乏迭代序列的收敛理论，||dN||/ε 这个值的变化规律还不太清楚，但可以肯定它不是线性的。望网友们一块探讨。

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2012-7-27 23:00

柳烟

4# changxde
在ahm.ucl中，里面只有一个特效文件。打开任一牛集，再点选outside选项卡，找到ahm.ucl中的文件Extrapolated Bailout，打开后，再在面板中选中四个开关项的newton，即得此图形。代码可单独将此开关项抽出来。这个效果我干了几次，整不出这效果，可能我的造法有问题，代码有些地方费解。

柳烟

我将那个特效文件，进行大幅度缩水，仅保留newton开关项部分，并动了手脚后，代码及图形效果如下：
VaryingBailout {

final:
complex x = #pixel
If Imag(#pixel)==0
  x=#pixel + 1e-30i
Endif

int iter = 0
repeat

   xold=x
   x=x -( x^3-1)/(3*x^2)

  iter=iter+1
until (|x-xold|<=@SmallBailout )

  float bailTest=|x-xold|
  Power=2
If iter!=1000
    #index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(log(bailTest))))
Else
   #index=sqrt(log(log(bailTest)))
Endif
default:
title="Extrapolated Bailout"

float param SmallBailout
  caption="Small Bailout"
  hint="Should be positive. Smaller values mean more time, but more accurate \
  pictures (assuming you increase the iterations)."

  default=0.0001
endparam

}

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2012-7-28 07:48

榕坚

只能弄到这个程度，要兼顾到多种颜色的一致性很难：

柳烟

我今天试着模糊等势圈，用常老师法，我不得法，结果等势圈越整越浓，用|z-z0|的终象除任意小正数ε(阈值)与et搭配，我是分二个阵营，一是||dM||>ε，二是||dM||<ε分别调色。如何搭配才得当？
我试着翻译8楼光滑N集的代码，结果#index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(log(bailTest))))不好驾驭，弄出无意义。又until (|x-xold|<=@SmallBailout )是啥意思？与后文如何串联？丈二和尚摸不着头脑。再精简代码如下，我在UF中验证了，得到的图形完全一样。个别句子再动手脚。
VaryingBailout {

final:
complex x = #pixel


int iter = 0
repeat

   xold=x
   x=x -( x^3-1)/(3*x^2)

  iter=iter+1
until (|x-xold|<=@SmallBailout )

  float bailTest=|x-xold|
  Power=2
If iter-#maxiter<0
    #index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(abs(log(bailTest)))))
Else
   #index=sqrt(log(abs(log(bailTest))) )
Endif
default:
title="Extrapolated Bailout"

float param SmallBailout
  caption="Small Bailout"
  hint="Should be positive. Smaller values mean more time, but more accurate \
  pictures (assuming you increase the iterations)."

  default=0.0001
endparam

}
短短的代码，怎么那么麻烦，怪得出奇。