牛顿分形的“光滑”着色

changxde

所谓Newton分形，就是在复平面上给定复函数g(z)，构造Newton迭代公式 f(z)=z-g(z)/g'(z)，对复平面内的每一点z0，用Newton迭代公式 z_(n+1) = f(z_n)进行迭代计算，得一迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），根据这序列的不同表现，选定一个颜色值给z0以标记，在复平面内就形成了一个漂亮的图案就是Newton分形。典型的有 g(z)=z^3-1.

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2012-7-27 23:03

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2012-7-27 23:03

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2012-7-27 23:03

changxde

对于Newton迭代序列，z0，z1，z2，z3，……（1），一般可以很快收敛于g(z)的一个零点，但一般情况下g(z)有多个零点，而且我们不能准确写出g(z)的零点值。为此我们作变换dn=zn-z_(n-1)，构造新序列：d1，d2，d3，……（2），它可以很快收敛于0。可以想象，由于z0在平面内的不同位置，它们分属于g(z)的不同零点的领域，即使在同一零点领域，也有离零点远近之分，为此，再引入一个小正数 ε>0，对于z0，若存在一个正整数 N，当 n>=N 时，||dn||<ε，而 n<N 时，||dn||>ε ，这时对于z0，产生几个可用来给z0标记颜色的特殊值，N，zN，dN。N——逃逸时间，zN——迭代终点——应该很接近零点，dN——最后一次迭代的步长。当然，由于时间和技术问题，我们应该设定一个最大迭代次数 M ，对一般的点z0 的 N < M，可是有一些点z0，迭代 M 次后仍有 ||dM||>ε，这些点就是零点领域边界附近的点，画在图上就是Newton分形的分形链上的点。

changxde

3# 柳烟

是那一个效果，我怎么没找到

changxde

2# changxde

关于迭代序列的收敛问题，要用到数学理论，我已经淡忘了，网友可以补上。

changxde

为了淡化等势线，我们考虑 ||dN||/ε 这个值，它的值域是(0,1]，把它与逃逸时间结合起来，即可淡化等势线。
不过因缺乏迭代序列的收敛理论，||dN||/ε 这个值的变化规律还不太清楚，但可以肯定它不是线性的。望网友们一块探讨。

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2012-7-27 23:00

changxde

淡化等势线的方法如下图：

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2012-7-28 19:03

如果 b 的变换在 ( 0 , 1 ] 上是均匀的，淡化效果最好。
那么如何使上面那个比 ||dN||/ε 在 ( 0 , 1 ] 上变化均匀呢？

changxde

10# 柳烟

这个颜色索引值有点怪，
If iter-#maxiter<0
    #index=cabs(sqrt(log(Power)*(#maxiter-iter) + log(abs(log(bailTest)))))
Else
   #index=sqrt(log(abs(log(bailTest))) )
Endif
为什么没用 @SmallBailout ？？？
翻译成我们常用的符号是
sqrt((N-et)*ln2+ln|ln|d||)
不过这个值比较大，调整一下
sqrt(((N-et)*ln2+ln|ln|d||)/N)
而这个值又比较集中与某一点，适当调整一下即可。

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2012-7-30 18:52

changxde

它是循环终止的条件，不能去掉。
另外在N集主程序中好像没有记录|z-zold|。
疑问是在index中怎么没有SmallBailout的影子，这个值过大或过小都会对着色效果有影响。

changxde

颜色值过度还是比较平滑的

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2012-7-30 21:49

找了好久找到这个文件，可惜我也看不懂了。

changxde

学习向老师的多轴对称

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2012-7-31 11:13

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2012-7-31 17:29