myzam

关于Taylor展开式
用sinx上色和用多项式上色一样的
因为sinx=x+x^3/3!+x^5/5!+...
其余类似。。。。
由于每一个分段函数都可以展成Fourier级数，所以用分段函数上色和用三角级数上色基本相当。


用前后项距离的差作为dr输入，就是这样:|sin(πdr/T)|着色，边界就会高亮成灯光效果。

myzam

方法不理想，精度不够高。

myzam

31#边界高亮的理论依据~是必然还是偶然？~···前差分的应用：

设J集合迭代序列为zn，这个序列相邻两项为z[n],z[n+1],这两项构成的前差分为
Δz[n]=z[n+1]-z[n],这些点都在等势线上。
由于z[n+1]=f(z[n]),z[n]=f(z[n-1])
所以，Δz[n]=z[n+1]-z[n]=f(z[n])-f(z[n-1])
由微分中值定理，得
Δz[n]=z[n+1]-z[n]=f(z[n])-f(z[n-1])≈f'(t)(z[n]-z[n-1])
其中f‘（z）=2z，t=(1-a)*z[n-1]+a*z[n](0≤ a≤ 1 )。
故 Δz[n]=z[n+1]-z[n]=f(z[n])-f(z[n-1])
    ≈f'(t)(z[n]-z[n-1])
    =[（1-a)*z[n-1]+a*z[n] ]*(z[n]-z[n-1])
所以
   |Δz[n] |=|z[n+1]-z[n] |    ≈   | （1-a)*z[n-1]+a*z[n] |*|z[n]-z[n-1]|。
|Δz[n] |这个前差分的绝对值，实际就是势差。由于解析函数在有界闭集上的最大模
总是可以再边界上达到，因此这个势差将在边界上取得最大模。故以它作为
dr  =| （1-a)*z[n-1]+a*z[n] |*|z[n]-z[n-1]| (0≤ a≤ 1 )。
上色，边界必然会高亮。





双点迭代，想法折冲降低内成内存，这还是可以办到的。这些都是解析函数最大模定理作用的结果。
扫描图片我没多少耐心，意思意思就行了，扫描非常快,十来秒钟完成的，扫描了一遍。跌嗲了100次，采样率500.
参数运动速度0.5/sec

myzam

高亮（high light~HL）技术绘制等势线（contour line~~CT等势线）：
改天我把它写出来基本原理利用微分中值定理，展开势差。
技术是用来分享的，死了带不进棺材，玩几何画板和打麻将没什么差别。我把我的心得写出来供板友玩耍。
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我把原理，做法补在37#，供板友玩耍时参考。

xiaongxp

34# myzam
这种处理等势线的方法很独特，学习了。

myzam

35# xiaongxp
我也是看了你们的等势线画法效果图，我就被逼做的，原理很简单，注意是改造来要让画板能运行，这个我费了点力。

myzam

一。原理篇
为了让板友能够更好的理解我的想法，我就从最基本的数学概念说起，本来这是多余的。
1.分段函数有简单函数的概念
  分段函数大家都比较熟悉。
例子：当x>1 时，f(x)=x^2;当x<2时，f(x)=x-1 .这种函数就是分段函数。
  简单函数是实变函数里面广泛使用的一类函数，它是类似于分段函数的一种函数。
例子：设E是一个区域，E1，E2，E3是对区域E的一个划分，这个划分满足条件：E1，E2，E3两两不交，且其并集等于E。定义函数f(x)(这里的自变量x，可以数轴上的点，也可以是平面上的坐标，乃至高维空间中的点的坐标)，规定如下：当x∈E1时，f（x）=a1，当x∈E2时，f（x）=a2，当x∈E3时，
f（x）=a3.（a1，a2，a3为常量），这样定义的f（x）就是简单函数，所以简单函数更像我们平时见到的阶梯函数。
2.微分的概念
  设w=f（z）是一复变函数，定义Δz=z-z0叫自变量的增量，类似的定义Δw=f（z）-f（z0）叫函数的增量，函数的增量也可以写成Δw=f（z+Δz）-f（z）。我们把比值Δw/Δz叫做差商。
当Δz→0时，Δw/Δz→α，把这个极限值叫做函数w在点z0处的导数，记成f'(z0).
同时我们要把Δw，Δz在叫做函数的微分，和自变量的微分，习惯记成dw，dz。
3.解析函数的概念
设w=f（z0），如果函数w在z0出有导数，就数函数在z0出可导，如果是实函数，在某点处可导和在某点附近可导是一样的，但是复变函数不是这样的的，一个复变函数在点z0出可导，但是在z0的附近的小小的圆邻域内不一定可导（这只要有复变函数的柯西条件Chauchy就很容易举出反例来，本处勉）。
所以复变函数给出了：在z0附近可导的函数叫解析函数。如果f（z）=z^m+c就是解析函数。复变函数主要就是研究解析函数的性质。
4.微分中值定理
微分中值定理是Taylor展开式的特例。复的函数和实的函数都是一样的结够。其实复变函数研究的展开式主要是罗朗展示，它是正幂级数和负幂级数合在一起的一个种级数，复变函数的极点，留数的计算就要靠罗朗展示，这几句话说远了，还是回到正题来。
微分中值定理：设w=f（z）在点z0出解析（即在z0为中心的圆邻域D上处处可导），则
f(z)-f(z0)=f'(u）（z-z0），其中u是位于z和z0连线上的一个复数。u也常常写成u=z0+t*Δz
(0≤t≤1），或写成u=t*z0+(1-t)*z.
微分中值定理的应用：每一个解析函数w=f（z）都可以在以z0为中心的圆邻域D内展开：f(z)=f(z0)+f'(z0)Δz+o（|Δz|).
记号o（|Δz|)表示比|Δz|高阶的无穷小量，就是当Δz→0时，o（|Δz|)→0.这说明档|Δz|很小时，
可以有f(z)≈f(z0)+f'(z0)Δz。
把微分离散化就是差分，这里从约，因为我发现直接用中值定理就可以导出我想要的结论来。

myzam

5。Julia集合中的势的概念
   首先，谈复函数的等势线（ct线~contour line）的概念：如果w=f（z）为一复函数，
令|w|=r，这时点z的轨迹就叫函数w的ct线。其实复变函数的ct线，就是它对应的实函数|f（z）|的ct
线，此时的值r叫做势（势值potential），显然在同一条等式线上势是相等的，这叫等势值(euipotential这点几何法叫做et）。
   其次，谈谈Julia集合的中的等式线的概念：
  设f（z）=z^2+c,c=c1+c2*i,迭代：z0=f^0(z0)(这是为了方便做的一个记号规定），
  z1=f(z0),z2=f(z1)=f(f(z0))=f^2(z0),z3=f(f(z2))=f^3(z0),...,z[n+1]=f^n(z0)
   通过迭代得到一个复序列{zn}.
   显然递推关系是：z[n+1]=f(z[n])=f^(n+1)(z0)
   当点zn位于半径为2的园内时，我们认为初始点z0∈J集合。如果经n次迭代后点zn跑到了半径为2
  外，我们就认为初始点z0∉J集合。我们要做的就是对zn没有跑出半径为2的圆时，对它所对应的初始点z0着色。
  概念：zn=f^n(z0)它是以z0为自变量的一个函数，称实函数|f^n(z0)|的ct线就Julia集合的等势线。相应的势值显然就是zn的模，即|zn|=sqrt(xn^2+yn^2).
  如果绘制J集合就会发现J集合的等式线会划分出许多类似于圆环的图形，在每一个类似圆环的形状内，势|zn|保持不变，但初始点从一个类圆环跨到下一个类圆环上时，势|zn|跳跃成另一个值。
假设绘制J集合时类圆环就3个（其实远远不只这么几个，这里是假设），不妨设这三个类圆环为E1，
E2，E3.则势|zn|就够成了一个如下的简单函数：
当z0∈E1时，|zn|=r1，当z0∈E2时，|zn|=r2，当z0∈E3时，|zn|=r3.
真实的情况是这个简单函数原比这个假如复杂的多，阶数也要多的多。总之势构成了一个函数：
|zn|=φ(z)它不是我们理解的阶梯函数，它是一个数学上是简单函数（数学专用概念）。正是势是一个简单函数，所以直接用势着色，J集合就会出现一个个类似圆环是色块，我们叫它们为等势圈，因为在每一个圈内势不变。那么有什么办法作出等势线呢？
特别注意：数列zn叫函数列，它带有参数z。

myzam

6.势差的概念
概念定义：设复函数w=f（z）的等式线为ct1，ct2，它们对应的势分别为r1，r2，称|r1-r2|为势差。
（potential derference).
把这个概念应用到J集合的迭代上：关于J集合的势差的计算有多个角度计算，比如计算前后两项的势差，|z[n]- z[n+1]|就是比较常见的一种(其实是势差的近似算法，下类似)。不过这里要介绍的是另外一种计算J集合势差的办法：首先取两个点z，z‘ 作为迭代的初始点，z出发迭代n次的终点为zn，z‘出发迭代m次的终点为zm’
终点的势差为|zn-zm'|,特别注意这个势差是函数列，或明显的写成：|zn-zm'|=φ(n,m,z,z')，它有4个变量。通常可以取n=m，即两个初始点的迭代次数相同。
那么这个势差函数有什么性质呢？
以下我们假定n=m，并且z和z'充分接近，即认为|z-z'|接近于0.由于f^n(z)为一解析函数，当然是连续函数，又由于我们是在一个闭合的圆盘内讨论，圆盘是一个有界的闭集和，关于闭集上的连续函数有着样一个重要的定理：闭集上的连续和一致连续等价.
什么是一致连续：就是说z和z'是两个动点，当z和z'充分接近时，对应的函数值也充分接近。
连续的概念要弱一点：连续的定义要求z和z‘中必须有一个是固定的点。一致连续是函数的整体性质，连续是局部性质。
正是由于f^n(z)是一致连续的，所以f^n(z)-f^(n)(z')也是一致连续的，从而势差|f^n(z)-f^(n)(z')|
也是一致连续的。一致连续很重要，它保证了|z-z'|→0时，  |fn(z)-f^(n)(z')|→0.
所以当z和z‘ 充分接近时，点zn和zn’  必然位于同一个J集合的等势环内。这时的势差基本就是0.
当z或者z‘有一个点位于两个相邻的等势环的交界线上时，势差就会变成非0的值，由此可以看到，
势差具有跳跃性，只有在相邻的等势圈的交界上它才非0.势差函数构成了一个类似于简单函数的函数。
由势差的性质决定了用势差上色会高亮（high light相邻的等势圈的交界处。而且上色后对交界进行足部放大一定是色彩不完全一样。尽管我没有去放大过。但是理论告诉是这样的。

myzam

7.Julia集合中一种势差的估计
计算势差站的角度不同，可以计算出各种各样的势差。这里用计算的是上楼提到的势差：
记Δzn=zn’-zn，并假定z和z‘充分接近。
Δz[n+1]=φ（n，z，z‘）=z[n+1]'-z[n+1]=f(zn‘)-f(zn).
因为f（z）是解析的，所以微分中值定理成立，即有
Δz[n+1]=φ（n，z，z‘）=f'(u)(zn’-zn)=f'(u)Δzn（u是zn和zn’连线上的一点）
所以势差函数为：|Δz[n+1]|=|f'(u)|*|zn’-zn|=|f'(u)|*|Δzn|，
u的处理有三种方式：
方式1：u=zn‘+αΔzn（0≤α≤1）
方式2：u≈zn。
为了应用的方便，我选用了方式2.这样就得到了势差函数的估计式：：|Δz[n+1]|≈|f'(zn)|*|Δzn|，
这个估计式适合的不仅仅是Julia集合。对一切解析函数都是对的。
但是对于J集合，由于f(z)=z^b+c,故其导数f’（z）=b*z^(b-1),从而势差的估计式为：
|Δz[n+1]|≈b*|zn^(b-1)|*|Δzn|，通常的J集合合中的b=2.
下一步就是要在画板中通过双点迭代实现势差（potential deference~PD）着色。